CHAPITRE 18
Equations différentielles
Ce chapitre est à la fois un aboutissement et un point de départ.
Aboutissement parce que nous utiliserons des résultats tels que le
théorème du point fixe pour obtenir l'unicité locale des solutions sous
certaines conditions, l'axiome de Zorn pour l'existence de solutions maximales, les séries entières pour la recherche de solutions particulières, les
réductions d'endomorphismes pour les équations linéaires à coefficients
constants.
Point de départ, parce qu'en fait les applications des équations
différentielles à la physique sont innombrables, mais aussi parce qu'en
mathématiques c'est la porte ouverte à l'algèbre de Lie, mais aussi aux
techniques numériques de résolution.
Sur un plan plus personnel, c'est un aboutissement parce que j'ai
décidé de clore ce cours par ce chapitre, et de retourner ensuite à des
occupations ·plus saines, vannerie, cannage de chaises, jardinage ... d'où
un point de départ vers une existence dégagée de cette obligation de
rediger chaque jour quelques pages (même en ce 1er janvier 93, à ce propos,
meilleurs vœux !)
1. Généralités sur les équations différentielles
Soit un Banach E, A une partie de IR X En+I et une application de
A dans E qui à (t, xo, xi, ... , Xn) associe (t, xo, xi, ... , Xn)·
18.1. On appelle équation différentielle d'ordre n, sur E, associée à ,
l'équation :
18.2. où l'on cherche des couples (I, x) avec I intervalle de R et x fonction n
fois dérivable de I dans E, vérifiant la relation 18.2.