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Analyse fonctionnelle
11"
donc, pour 8 # 4 ( 11") on aura
dy
(sin8 + cos8)e8
x +y
dx = (cos8- sin8)ell = x -y'
On peut tirer y fonction de x, si on peut inverser 8 ~ e 11 cos8 donc au
voisinage de tout point Bo # i et # ~ ( 11").
Puis
i,p" _ d 2 y ·_ (1 + i,p')(x - i,p) - (1 - i,p')(x + i,p)
- dx2 -
(x - i,p)2
- ~(x - y) - ( ~) (x +y) - 2(x2 + y2)
-
(x - y)2
- (x - y)3
d'où
( 1+ (:~yy)2)3
(1 + i,p'2)3
i,p"2(x2 + i,p2) = 4(x2 + y2)2 2 2
(
)6 (x +y )
x-y
(2(x2 + y2))3(x _ y)6
= (x - y)6 4(x2 + y2)3 = 2.
Sur l'ouvert n' = {(x,y) E R 2 ,x # 0, X # y} on a donc y fonction
1 2 3
· li 'te
l''d tité (l +

= 2 le long de l'arc en implicite. (Si
rmp ci avec i en
i,p"2(x2 + 8 E J i, 3 ; [. le facteur d'homothétie disparait dans le résultat final.)
8. On peut encore chercher les extrema de f, x, y et z étant liés par x ln a +
y ln b + z ln c = ln k. Comme f est de classe C 00 sur R 3 , on cherche les
points où les différentielles sont proportionnelles, soit x, y, z tels que
(1 + y)(l + z)
(1 + x)(l + z)
(1 + x)(l +y)
lna
lnb
lnc
C'est l'équivalent à:
{
(1 + z) [(1 +y) lnb - (1 + x) lna) = 0
(1 +x) [(1 + z)lnc- (1 +y)lnb) =O.
1er cas: l+z =O. Il reste -(l+x)(l+y) lnb = 0 d'où (l+x)(l+y) = 0,
ona:
soit x = -1, y quelconque,
soit y= -1, x quelconque.