Difféomorphismes, fonctions implicites
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Vu les rôles symétriques des variables x, y et z, on a donc les points avec
2 coordonnées égales à -1, et la troisième calculée par la relation liant
x,y,z.
.
ln (abk)
Par exemple en xo = -1, Yo = -1, et zo avec czo = abk soit zo = 1
,
ne
puis en x1 = -1, z1 = -1 et
ln (ack)
ln (bck)
YI=
et en x2 = ---,y2 = z2 = -1.
lnb
lna
En ces points f est nulle. Considérons (xo, yo, zo).
lnabk
Pour x = -1 + u, y= -1 + v, z = - 1 - - + w par exemple,
ne
f(x,y,z) = uv(l + lnlabk +w), avec u,v,w liés parla relation
ne
( ln(abk)
)
(-l+u)lna+(-l+v)lnb+
lnc +w lnc=lnk
soit u ln a+ vin b + wln c = 0, donc on étudie le signe de
( 1 ln-(abk)
ulna+vlnb)- (ln(abck)-ulna-vlnb)
UV
+ - 1 - - -
l
- UV
l
·
ne
ne
ne
Si ln (abck) =f: 0 le signe dépend de celui de uv, non constant dans un voisi.
1
nage de 0, alors que si ln(abck) = 0 on a f(x,y,z) = - -
1 -(ulna +
ne
v ln b )uv qui change de signe quand ( u, v) donne ( -u, -v), (fonction homogène de degré 3). Finalement en ces points, pas d'extremum.
~cas: z =f: -1,x =f: -1,y =f: -1
On résoud le système :
{
xlna + ylnb+ zinc= lnk
-x ln a + y ln b
= ln a - ln b
ylnb- zinc= lnc-lnb
d'où 3y ln b = ln a:, et on obtient un point critique, (calculs affreux
vraiment, qu'est-ce que je regrette d'avoir choisi et exercice), de coordonnées
ln bck
1 ack
1 (abk)
a2
nb2
n-;;r
xo = 3lna' Yo = 3lnb et zo = 3lnc ·
On prend un accroissement u, v, w de façon que
(xo + u)lna + (yo + v)lnb + (zo + w)lnc = lnk,