Difféomorphismes, fonctions implicites
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8. La fonction f étant de classe C 00 sur R 3 , les seuls extrema possibles sont
en des points critiques où il y a proportionalité des différentielles, donc des
points tels que x + y + z = 1 et
y+ Z = X+ Z =y+ X {::}X= y= Z = .!.
1
1
1
3
Ona
mais u,v,w sont tels que~ +u+ ~ +v+ ~ +w = 1 donc u+v+w =O.
( 1
1
1
)
(1 1 1)
Il reste f 3 + u, 3 + v, 3 + w - f 3.' 3' 3 = uv + vw +wu. On
décompose par la méthode de Gauss en :
2 1
2 1
2
2
(u + w)(v + w) - w = 4 (u + v + 2w) - 4 (u - v) - w ,
et comme u + v + w = 0,
.
1 2 1
2
2
1
2 3 2
il reste -w - -(u - v) - w = --(u - v) - -(w ) ·
4
4
4
4
.
( 1
1
1
)
(1 1 1)
ona/ 3 +u, 3 +v, 3 +w -f 3'3'3 ~O:
il
.
b l
1 1 1
y a DlllXlDlum a sou en 3 , 3 , 3 .
7.
La fonction f : (x, y) ---+ x 2 + y 2 - e 2 Arctg~ est de classe C 00 sur
l'ouvert 0 = R* X R de R 2 , où x 2 + y 2 > 0 donc f(x,y) = 0 {::}
ln (x 2 + y 2 ) - 2Arctg ' !!.. =O.
X
F
Comme l'application (r,8)---+ (rcos8,rsin8) est un C 00 difféomorphisme
7r 7r
7r 37r
.
de JO, +oo[x] - 2 , 2 [u]O, +oo[xJ 2 , 2 [ sur n, on peut aussi remplacer
cette relation par la relation équivalente 2ln r - 28 = 0, ou r = e 6
qui donnera x et y fonction de 8 : x = e 6 cos8,y = e 6 sin8, avec
8 e] - 7r/2,7r/2[, ou par la relation 2lnr - 2(8 - i) = 0 qui donnera
x = e-~e 6 cos8 et y= e-~e 6 sin8 lorsque 8 e] i• 3 ; [.On continue
pour8dans ]-i·i[·
On a alors:
dy = e6(sin8 + cos8)d8; dx = e 6 (cos8 - sin8)