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Analyse fonctionnelle
4.
On suppose qu'effectivement, /(x 2 - y 2 , y 2 - z 2 ) = 0 permet de tirer z
fonction implicite de x et y, donc qu'en notant u et v les variables génériques
de f, on soit en un point (xo, yo, zo) tel que f(x~ - y~, y~ - z~) = 0 et
-zof~(x~ - y~, y~ - z~)-:{: O.
La relation /(x 2 -y 2 ,y 2 - r,o 2 (x,y)) = 0 donne alors
1
.
1 1
2xfu - 2r,or,oxfv = 0
et
f i
!'
'!'
-2y u + 2y V - 2<,0<,0y V= 0.
On multiplie par y la première, par x la deuxième, on ajoute, il vient :
2/~ [-yr,or,o~ + xy - xr,or,o~] = 0,
soit comme on travaille sur un voisinage où /~ -:{: 0, la relation voulue
1
1
xr,or,oy + Y'f''f'x = xy.
5. Soit M point du triangle A, B, C; a, b, c les longueurs des côtés BC, CA,
AB et dA,dB,dc les distances de Maux côtés BC,CA,AB respectivement.
On a déjà dAdBdc :;;?; 0, et ce produit est nul, (donc minimum) si M est sur
un côté.
L'aire de M BC est ~dAa, donc en notant u, v, w les aires de M BC, MCA,
MAB, on au+ v + w = S, aire du triangle, et
On cherche donc le maximum de f ( u, v, w) = a~ uvw sachant que u + v +
w = S, dans l'intérieur du triangle.
La proportionnalité des différentielles s'écrit v~ = u~ = u 1 v
uvw
uvw
uvw
ou encore - - = -- = -u
V
W
d'où u = v = w, (pour un point intérieur au triangle, on a u, v et w > 0).
Il y a un seul point critique pour u = v = w = ~,mais alors aire (M BC) =
~ aire (ABC) donc la distance de M à la base BC est le tiers de la
distance du sommet à cette base, M est sur la parallèle à BC passant par G
centre de gravité du triangle, mais les 3 côtés jouent des rôles symétriques
donc M est centre de gravité du triangle, et comme le maximum absolu
de dAdBdc, (fonction continue de M) sur le triangle ABC, compact, est
atteint quelque part, que ce n'est pas sur le bord, et qu'il n'y a qu'un point
critique à l'intérieur, le maximum est atteint au centre de gravité.