Difféomorphismes, fonctions implicites
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3. 1) Soient ai = (xi, y1) et a2 = (x2, y2) dans R 2 et A1 = (Xi, Y1)
A2 = (X2, Y2) les images par cp. On norme R 2 par la norme somme des
modules des composantes.
On a llA1 -A2ll = lx1 - x2 __: _ (f(y1) - /(y2))I
+ IY1 - Y2 - (f(x1) - f(x2))1.
Or lx1 - x2 - (f(y1) - f(Y2))1 ~ l lx1 - x2l - l/(y1) - /(y2)l I
d'où IX1 - X2I ~ lx1 - x2l - l/(y1) - /(y2)I,
(un réel est inférieur à sa valeur absolue), avec, (accroissements finis),
l/(y1) - /(y2)I ~ kly1 - Y21. d'où finalement
IX1 -X2I ~ lx1 -x2I - kly1 -y2I. Mais de même
IY1 - Y2I ~ IY1 - Y21- klx1 - x2I, d'où, en sommant,
Mais alors soit P une partie bornée de R 2 , ai, a2 dans ~ - l ( P), c'est
que A1 = cp(a1) et A2 = cp(a2) sont dans P, et comme lla1 - a2ll ~
1 ~ k llA1 -A2ll, on a lla1 - a2ll majoré d'où cp- 1 (P) bornée.
2) Soient des Ak de cp(R 2 ) convergeant vers L adhérent à cp(R 2 ), en
traduisant cette convergence on obtient les Ak dans une partie bornée de
R 2 , notée P. Mais avec ak dans R 2 tels que cp(ak) = Ak les ak E cp- 1 (P),
partie bornée, donc aussi à cp-l(P) compact de R 2 , (fermé borné).
Il existe une suite extraite ( a9( k)) kEN convergente, de limite a, comme cp
est continue, (ses composantes le sont), on a :
cp(a)= lim cp(ae(k))= lim Ae(k)=L,
k-++oo
k-++oo
d'oil L E cp(R 2 ) qui est fermé.
3) La matrice jacobienne de cp est
( 1
-!l'(y))
J(x) = -f'(x)
de déterminant 1- f 1 (x)f 1 (y) =/. 0 car lf'(x)f'(y)I < 1.
Le théorème du difféomorphisme local s'applique en tout point de R 2 , donc
cp(R 2 ) est un ouvert de R 2 . (Si A = cp(a) E cp(R 2 ), il existe U ouvert
de R 2 contenant a et V ouvert de R 2 contenant A tel que cp réalise
un difféomorphisme de classe C 1 de U sur V, d'où V ouvert contenant
A et inclus dans cp(R 2 )). Mais R 2 est connexe et cp(R 2 ) non vide donc
cp(R 2 ) = R 2 : cp est surjective.
Enfin cp est injective car si cp(a1) = cp(a2) =A, comme alors lla1 - a2ll ~
1 ~ kllA-All, (voir 1), on a ai= a2.
La bijection cp ayant sa différentielle bijective partout, on a bien un C 1
difféomorphisme de R 2 sur R 2 .
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3. 1) Soient ai = (xi, y1) et a2 = (x2, y2) dans R 2 et A1 = (Xi, Y1)
A2 = (X2, Y2) les images par cp. On norme R 2 par la norme somme des
modules des composantes.
On a llA1 -A2ll = lx1 - x2 __: _ (f(y1) - /(y2))I
+ IY1 - Y2 - (f(x1) - f(x2))1.
Or lx1 - x2 - (f(y1) - f(Y2))1 ~ l lx1 - x2l - l/(y1) - /(y2)l I
d'où IX1 - X2I ~ lx1 - x2l - l/(y1) - /(y2)I,
(un réel est inférieur à sa valeur absolue), avec, (accroissements finis),
l/(y1) - /(y2)I ~ kly1 - Y21. d'où finalement
IX1 -X2I ~ lx1 -x2I - kly1 -y2I. Mais de même
IY1 - Y2I ~ IY1 - Y21- klx1 - x2I, d'où, en sommant,
Mais alors soit P une partie bornée de R 2 , ai, a2 dans ~ - l ( P), c'est
que A1 = cp(a1) et A2 = cp(a2) sont dans P, et comme lla1 - a2ll ~
1 ~ k llA1 -A2ll, on a lla1 - a2ll majoré d'où cp- 1 (P) bornée.
2) Soient des Ak de cp(R 2 ) convergeant vers L adhérent à cp(R 2 ), en
traduisant cette convergence on obtient les Ak dans une partie bornée de
R 2 , notée P. Mais avec ak dans R 2 tels que cp(ak) = Ak les ak E cp- 1 (P),
partie bornée, donc aussi à cp-l(P) compact de R 2 , (fermé borné).
Il existe une suite extraite ( a9( k)) kEN convergente, de limite a, comme cp
est continue, (ses composantes le sont), on a :
cp(a)= lim cp(ae(k))= lim Ae(k)=L,
k-++oo
k-++oo
d'oil L E cp(R 2 ) qui est fermé.
3) La matrice jacobienne de cp est
( 1
-!l'(y))
J(x) = -f'(x)
de déterminant 1- f 1 (x)f 1 (y) =/. 0 car lf'(x)f'(y)I < 1.
Le théorème du difféomorphisme local s'applique en tout point de R 2 , donc
cp(R 2 ) est un ouvert de R 2 . (Si A = cp(a) E cp(R 2 ), il existe U ouvert
de R 2 contenant a et V ouvert de R 2 contenant A tel que cp réalise
un difféomorphisme de classe C 1 de U sur V, d'où V ouvert contenant
A et inclus dans cp(R 2 )). Mais R 2 est connexe et cp(R 2 ) non vide donc
cp(R 2 ) = R 2 : cp est surjective.
Enfin cp est injective car si cp(a1) = cp(a2) =A, comme alors lla1 - a2ll ~
1 ~ kllA-All, (voir 1), on a ai= a2.
La bijection cp ayant sa différentielle bijective partout, on a bien un C 1
difféomorphisme de R 2 sur R 2 .