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Analyse fonctionnelle
et en a= (1, -1,0) elle vaut
de déterminant 10 non nul.
Donc est étale en a = ( 1, -1, 0), elle établit un difféomorphisme local d'un voisinage ouvert U de a sur un voisinage ouvert V de (a) =
b = (4, 0, 1), -l ayant pour différentielle en (u, v, w) = (x, y, z),
( d( ef>- 1 ( u, v, w))) - l. En particulier en b, la matrice jacobienne est
A- 1 = _.!._ -2 0 2 .
( -2 0 12)
10
0 -5 0
2. La fonction f est définie sur l'ouvert )0, +oo[ 3 = n, X, y et z jouant des rôles
symétriques.
Elle est de classe C 00 sur n, et la proportionnalité des différentielles de f
et de g: (x,y,z) ~ x +y+ z - 3a se traduit par
l+Lnx
1
l+Lny
1
l+Lnz
1
soit par x = y = z, avec x + y + z = 3a, donc x = y = z = a.
On étudie le signe de l'accroissement de la fonction:
f(a + u,a + v,a +w) - f(a,a,a), avec u + v +w =O.
On a f(a+u,a+ v,a + w) =(a+ u)Ln(a + u)
+(a+ v)Ln(a +v) +(a+ w)Ln(a+ w)
( u)
u u 2
avecLn(a+u)=Lna+Ln l+a =Lna+a- 2 a 2 +o(u 2 )
donc, par développement limité,
f(a+u,a+ v,a+ w) = 3aLna + (u +v +w)(l + Lna)
+(u2 + v2 + w2) (~ - 2lJ + o(u2 + v2 + w2).
Comme f(a, a, a) = 3a Lna, et que u + v + w = 0, il reste
la quantité reste localement positive, (nulle si u = v = w = 0) : Ü y a
minimum local strict en (a, a, a).