Difféomorphismes, fonctions implicites
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2. Extrema de la fonction (x,y,z).,... f(x,y,z) = xLnx + yLny +
z Ln z avec x, y, z liés par x +y+ z = 3a, a > O.
3. Soit f de classe ci de R dans R, avec lf'(x)I ~ k < 1 pour tout X
de R. On définit cp = R 2 i--+ R 2 par cp(x, y) = (x - f(y), y - f(x)).
Montrer que :
1) Si Pest une partie bornée de R 2 , cp-i(P) est aussi bornée.
2) cp(R 2 ) est un fermé de R 2 •
3) cp est un ci difféomorphisme de R 2 sur R 2 .
4. Soit f de classe ci de R 2 dans R. Montrer ~ue la fonction implicite
z = cp(x, y) définie par la relation f(x 2 -y , y 2 - z 2 ) = 0 vérifie la
relation ycp cp~ + xcp cp~ = xy.
5. ·Maximum du produit des distances d'un point M d'un triangle
ABC, aux trois côtés du triangle.
6. Extrema de f: R 3 1-+ R définie par f(x, y, z) = xy + yz + zx, avec
x, y, z liés par la relation x +y + z = 1.
7. La relation x 2 + y 2 = e 2 Artg(~}, pour (x,y) ER* x R permet de
définir y fonction implicite de x, par y= cp(x).
.
(1 + cp'2)3
Expnmer ,, 2 ( 2
2 ).
cp X +cp
8. Soient a, b, c, k des réels strictements positifs. Extrema de la fonction
f : (x, y, z) .,... f(x, y, z) = (1 + x)(l + y)(l + z), avec x, y, z liés
par la relation axbYcZ = k, où a, b, c sont distincts de 1.
SOLUTIONS
1.
La fonction

u, v, w l'étant car polynômiales. La matrice jacobienne de J(,(x,y,z)) = (~~z
-y
-3z
2 )
2x 2 y •
4z