Difféomorphismes, fonctions implicites
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Ici le calcul est facile, (vous ne pensiez pas que j'allais traiter un
exemple difficile, et puis quoi encore). On doit étudier le signe de
v'3
-2(u2 + v2 + w2):
c'est négatif, il y a maximum local en ( Ja, Ja, Ja) et en chaque point
( ~ ~ ~)
.
v'3' v'3' v'3 , les ci valant 1 ou -1, vu les pantés. La valeur de f est
alors de v'3.
Et sur les cercles x = 0, ou y= 0, ou z = 0?
Si z = 0, on a (x, y) dans IR 2 tel que x 2 + y 2 = 1, et on étudie la
fonction fi(x,y) = lxl + IYI· On peut se ramener à x ~ 0 et y ~ 0,
poser x = cost,y = sint, et étudier les variations de fi(cost,sint) =
cost + sint pour t E [O, il·
C'est encore 'Pl ( t) = v'2cos ( t - ~), donc 'Pl croît de 1 à v'2 puis
décroît jusqu'en 1.
Comme sur le compact S, le minimum absolu doit être atteint quelque
.
~
part, c'est aux pomts du type (1, 0, 0) ou (0, 1, 0) (t = 0 ou 2" ), et plus
généralement aux points (c1, 0, 0), (0, c2, 0) et (0, 0, c3), ci =±1, la valeur
de f étant 1.
(
~)
v'2
v'2
Il reste le cas, t = '4 des points du type x = 2' y = 2' z = 0,
(et de ceux déduits par symétries), où f vaut v'2.
En a : (.;;, .;; , 0) ), si on se déplace sur le cercle z = 0 on vient de
voir qu'il y a un maximum local.
On va se rapprocher de a sur le grand cercle x = y, que l'on peut
2
2
sint
paramétrer. Comme 2x + z. = 1, prenons x = v'2 =y, z = cost: on
se rapprochera de a, avec x, y, z positifs, si t croît vers i·
Onaalorsf(x,y,z) = w(t) = v'2sint+costetw'(t) = v'2cost-sint
tend vers -1 si t tend vers i : la fonction W décroît vers i, il y a minimum
local en a sur ce grand cercle, donc ni maximum ni minimum en a.
A
.
d
1
cost
.
ttention au sens e parcours : e paramétrage x = v'2 , z = sm t
conduit à f(x, y, z) = cp(t) = v'2cos t +sin t avec un cp'(O) = 1 mais, si t