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Analyse fonctionnelle
forme quadratique en les Ui, pour i =/. j, plus un terme o(llull 2 ) : on est
ramené à l'étude faite en 16.63, 16.64, 16.65 et on peut théoriquement
s'en sortir.
Enfin, toute remarque de bon sens éliminant les calculs est la bienvenue. Par exemple, si on est sur un compact, les bornes sont atteints;
ou bien si dans tout voisinage de a on trouve des valeurs de f de part et
d'autre de f(a) il n'y a pas d'extremum ...
Je traiterai pour terminer l'exemple du départ
Les fonctions f: (x, y, z) ~ lxl + IYI + lzl
et
g: (x, y, z) ~ x 2 + y 2 + z 2 - 1
sont définies sur R 3 . La sphère S = {(x, y, z); g(x, y, z) = O} est un
compact de R 3 , donc f, continue, y atteint un maximum et un minimum
absolu.
La fonction f n'est pas différentiable si x (ou y, ou z) est nul, les
fonctions sont paires en x, y, z : on étudie d'abord sur l'ouvert 0 =
]O, +oo[ 3 . Alors f(x, y, z) = x +y+ z et la proportionalité de df(a) et de
dg( a) se traduit par les conditions
2x
2y
2z
1=1=1·
(proportionnalité des dérivées partielles),
d'où x =y= z =a avec 3a 2 = 1, soit a= )a
(on suppose x, y, z, > 0).
On étudie le signe de
sachant que
donc que