Difféomorphismes, fonctions implicites
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Si on revient au cas le plus général de deux fonctions f et g définies
sur une partie K pas forcément ouverte de E, à valeurs réelles, et si
A= {x; x E K,g(x) = O} les extrema de la restriction de f à A sont à
chercher:
0
1) parmi les points de A n ( K' K);
0
2) ceux de A n K où f, (ou g) n'est pas de classe ci;
.
0
3) ceux de An K où, avec f et g de classe ci, on a dg= O;
0
4) enfin ceux de A n K où f et g étant de classe ci, on a dg =/:- 0 et
df(a) proportionnelle à dg( a).
Cette liste semble longue, mais, si vous êtes un lecteur honnête,
vous ne pouvez appliquer le Théorème 17 .17 que si ses hypothèses sont
vérifiées, ce qui amène à considérer ces différents cas.
Que fait-on quand on tient un tel point a? On étudie le signe de
f(a + u) - f(a) pour u dans un voisinage de 0, (dans E) mais tel que
g(a + u) =O. Parfois, l'utilisation de développements limités obtenus en
traduisant l'égalité g( a + u) = 0 facilite les choses.
Dans le cas où a est tel que df(a) = >.dg( a) avec dg( a) =/:- 0 on peut
poursuivre un peu l'étude théorique.
En effet soit cp définie par cp = f - >.g, pour u tel que g(a + u) = 0,
ona
cp(a + u) - cp(a) = f(a + u) - f(a).
Par ailleurs dcp(a) = df(a) - >.dg(a) = O. Si on suppose f et g
différentiable à l'ordre 2 en a, on a (formule de Taylor Young, Théorème
16.54):
et on est ramené à l'étude de la forme quadratique u ....+ d 2 cp(a)(u,u)
mais pour les u tels que g( a + u) = 0, ce qui, si u E Rn, ramène à n - 1
variables, car en écrivant
0 = g(a + u) - g(a) = dg(a)(u) + o(llull)
n
avec dg( a) =/:- 0 on exprime un Uj sous la forme Uj = L.Biui + o(llull),
i=l
ioFj
les .Bi étant des constantes et l'expression de cp( a+ u) - cp( a) devient une