380 Analyse fonctionnelle
THÉORÈME 17.17. - Soient f et g deux fonctions définies sur 0 ouvert de
E espace vectoriel normé, à valeurs réelles, de classe C 1 , et
S = {x; x E 0, g(x) = O}. Si la restriction de f à S présente en a de Sun
extremum, et si dg( a) =f:. 0, alors il existe À réel tel que df(a) = Àdg(a).
En effet, comme dg( a) =f:. 0, 3v dans E avec dg(a)(v) =f:. O.
Soit u quelconque dans E. On définit deux fonctions des variables s
et t réelles par
F(s, t) = f(a +su+ tv) et G(s, t) = g(a +su+ tv).
Comme 0: (s, t) ""'+a+ su+ tv est continue et que 0(0, 0) est dans 0
ouvert, il existe un voisinage ouvert 0 de (0, 0) dans R 2 tel que 0( 0) C O.
Soit A = {(s, t); (s, t) E O; G(s, t) = O}, la fonction FIA présente
en (0, 0) un extremum, car il existe un voisinage V de a dans Etel que
x EV n S => f(x) ~/(a) par exemple, (si l'extremum est un maximum
local), mais il existe W voisinage de (0, 0) dans IR 2 tel que
(s, t) E W => O(s, t) =a+ su+ tv E V
donc si (s, t) E W n A, comme alors O(s, t) EV n S, on a bien
F(s, t) = f(O(s, t)) ~ /(0(0, 0)) =/(a) = F(O, 0).
Or G~ : dg(a +su+ tv)(v), donc G~(O,O) = dg(a)(v) =f:. 0, on
peut appliquer le théorème des fonctions implicites à G, et localement,
G(s, t) = 0 # t = Gt(t, Cette fois-ci, c'est la fonctions""'+ F(s, de 0 dans R, dérivable, qui présente en 0 un extremum, donc sa dérivée
en 0 est nulle, soit encore F~(O, 0) + Ff (0, O) Il ne reste plus qu'à calculer ces dérivées partielles et on obtient :
( dg(a)(u))
df(a)(u) + df(a)(v) dg(a)(v) = 0,
df(a)(v)
.
d'où, avec À réel égal à dg(a)(v)' (ne pas oublier que df(a)(v) est un
réel ... ) on a,
Vu E E,df(a)(u) = Àdg(a)(u)
d'où la proportionnalité des différentielles en a.
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