Difféomorphismes, fonctions implicites 379
âf
En effet supposons âz (xo, yo, zo) =fa 0, on obtient localement z
fonction de (x, y) : z = cp(x, y), et l'identité
f(
( )) 0 d
,
f~(x,y,cp)
x, y, cp x, y =
onne 'Px = - f' (
) ,
z x,y,cp
et
1
f~(x,y,cp)
'Py = - f!Ax, y, cp)"
La nappe paramétrée par (x, y, cp(x, y)) = F(x, y, z) est telle que les
vecteurs F~ = (1, 0, cp~) et F~ = (0, 1, cp~) sont indépendants, on a un
plan tangent d'équation :
X-x Y-y Z-z
1
0
cp~
=0
0
1
cp~
qui se développe en
(X - x)(-cp~) - (Y -y)cp~ + Z - z = 0, soit encore
en
f~
f~
(X - x) f~ +(Y -y) f~ + Z - z = 0
ce qui donne l'expression symétrique, avec z = cp(x, y),
(X - x)f~(x, y, cp(x, y))+ (Y - y)f~(x, y, z) + (Z - z)f~(x, y, z) =O.
3. Problèmes d'extrema liés
Un exemple. Promenons-nous, dans R 3 euclidien, sur la sphère unité,
S, d'équation x 2 + y 2 + z 2 = 1. A chaque point m de S on peut
associer la somme des distances aux plans de coordonnées, c'est-à-dire
f(x,y,z) = lxl + IYI + lzl et comme cela, tout d'un coup on se demande,
tiens, quant est-ce que f est extrémale?
On cherche donc les extrema de f, fonction de x, y, z, les variables
étant liées par la relation g(x, y, z) = 0 avec g(x, y, z) = x 2 +y2 +z 2 -1.
Généralisons ce problème.