378 Analyse fonctionnelle
f~. (xi. ... , Xn-li g(xi. ... , Xn-1))
3
+ f~n (xi.···, Xn-1• g(xi. ... , Xn-1))g~;(x1, ... , Xn-1) = 0
qui donne l'expression voulue de g~. ( x1, ... , Xn-1) vu la non nullité de
3
f~ 1 ,,(x1, ... ,Xn-i.9(Xi, ... ,Xn-Ü), et cette expression permet de voir
que g est de classe CP car toutes les dérivées partielles d'ordre inférieur
à p de g vont exister et être continues sur W.
17.13. Si n = 2, on obtient les arcs de courbe en implicite : si 0
est un ouvert de ~ 2 , f une application de classe cP de 0 dans R,
(xo, Yo) E 0 tel que f (xo, Yo) = 0 et f~(xo, Yo) =f. 0, on a localement,
(f(x, y) = 0) #(y= cp(x)) avec cp de classe CP, vérifiant cp(xo) = YO·
L'identité (locale) f(x,cp(x)) = 0 donne f~ + f~cp 1 (x) = 0 d'où
cp'(x) = _f~(x,cp(x)).
f~(x, cp(x))
La tangente en Mo(xo, Yo), à l'arc de courbe a pour équation
'( )(
)
f~(xo,cp(xo))(
)
Y - YO = cp XQ X - XQ = - f' (
( )) X - XQ
y xo, cp xo
ou, plus symétriquement :
17.14. (x - xo)f~(xo, Yo) + (y - Yo)f~(xo, Yo) = 0,
équation de la tangente que l'on obtient également si on avait au départ
f~(xo, Yo) =f. 0, et que l'on avait tiré implicitement x fonction de y.
17.15. Sin= 3, on obtient les nappes en implicite: très brièvement, soit
n un ouvert de R 3 , f: n 1-+ R de classe CP, (xo,yo,zo) dans n tel que
f(xo, Yo, zo) = 0 et df(xo, Yo, zo) =f. 0, alors localement, f(x, y, z) = 0 #
(l'une des coordonnées est fonction, (de classe cP) des 2 autres), donc M
de coordonnées (x, y, z) est localement sur une nappe paramétré, de plan
tangent ayant pour équation :
17.16. (X - x)f~(x, y, z) +(Y - y)f~(x, y, z) + (Z - z)f~(x, y, z) =O.