Difféomorphismes, fonctions implicites
377
Avec les hypothèses du Théorème 17.10, si on a localement f(x,y) =
f(a, b) {:::} (y = g(x) et x E W), avec g de classe, C 1 , c'est que,
Vx E W, f(x, g(x)) = f(a, b) est constante en x, donc en différentiant
on obtient:
dfx(x, g(x)) + dfy(x, g(x)) o dg(x) = 0,
et comme les hypothèses sont telles que, Vx de W, (x,g(x)) reste dans
l'ouvert sur lequel dfy est à valeur dans Isomc(E, F), (sinon par continuité, on restreint W pour qu'il en soit aussi) on a
17.11.
dg(x) = - [dfy(x,g(x))]- 1 odfx(x,g(x)).
Un cas particulier important
THÉORÈME 17.12. - Soit n un ouvert de Rn, f une application de classe
CP de S1 dans R et a= (a1, ... , an) dans S1 un point tel que ôôf (a) -:fa O.
Xn
Il existe un voisinage U de a dans Rn, un voisinage W de (a1, ... ,
((x1, ... , Xn) EU et f(x1, ... , Xn) = f(a1, ... , an))
{:::} ((xi, ... , Xn-1) E W et Xn = g(xi, ... , Xn-1)).
De plus; pour j = 1, ... , n - 1, on a sur W,
J'ai toujours trouvé très longs les énoncés de calcul différentiel. Pas
vous?
On applique le Théorème 17.10 à E = Rn-l, F = G = R, on note
a = (a1, ... ,an-Ü E E,/3 = an E F et a = (a,/3). On considère
x = (xi, ... , Xn-1) et y = Xn· La différentielle partielle dfy(a, /3) est
l'application linéaire de R dans R définie par t réel donne 8
8 f (a, /3) · t,
Xn
(produit dans R), c'est donc un isomorphisme de R dans R, le théorème
s'applique.
L'identité locale f (xi, ... , Xn-1' g(xi, ... , Xn-1)) = 0 conduit, en
prenant la dérivée partielle par rapport à x;, à l'égalité:
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Avec les hypothèses du Théorème 17.10, si on a localement f(x,y) =
f(a, b) {:::} (y = g(x) et x E W), avec g de classe, C 1 , c'est que,
Vx E W, f(x, g(x)) = f(a, b) est constante en x, donc en différentiant
on obtient:
dfx(x, g(x)) + dfy(x, g(x)) o dg(x) = 0,
et comme les hypothèses sont telles que, Vx de W, (x,g(x)) reste dans
l'ouvert sur lequel dfy est à valeur dans Isomc(E, F), (sinon par continuité, on restreint W pour qu'il en soit aussi) on a
17.11.
dg(x) = - [dfy(x,g(x))]- 1 odfx(x,g(x)).
Un cas particulier important
THÉORÈME 17.12. - Soit n un ouvert de Rn, f une application de classe
CP de S1 dans R et a= (a1, ... , an) dans S1 un point tel que ôôf (a) -:fa O.
Xn
Il existe un voisinage U de a dans Rn, un voisinage W de (a1, ... ,
((x1, ... , Xn) EU et f(x1, ... , Xn) = f(a1, ... , an))
{:::} ((xi, ... , Xn-1) E W et Xn = g(xi, ... , Xn-1)).
De plus; pour j = 1, ... , n - 1, on a sur W,
J'ai toujours trouvé très longs les énoncés de calcul différentiel. Pas
vous?
On applique le Théorème 17.10 à E = Rn-l, F = G = R, on note
a = (a1, ... ,an-Ü E E,/3 = an E F et a = (a,/3). On considère
x = (xi, ... , Xn-1) et y = Xn· La différentielle partielle dfy(a, /3) est
l'application linéaire de R dans R définie par t réel donne 8
8 f (a, /3) · t,
Xn
(produit dans R), c'est donc un isomorphisme de R dans R, le théorème
s'applique.
L'identité locale f (xi, ... , Xn-1' g(xi, ... , Xn-1)) = 0 conduit, en
prenant la dérivée partielle par rapport à x;, à l'égalité: