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Analyse fonctionnelle
En notant alors W = {x E E, (x,O) EV}, on a un ouvert de E car
si xo E W, il existe un ouvert élémentaire WE x wp de l'espace produit
Ex F tel que (xo,O) E WE x wp CV. Mais alors, pour tout x' de WE,
( x', 0) est dans V donc w E C W, on a bien W voisinage de xo et ce pour
toutxo de W.
On a finalement
((x, y) EU et f(x, y)= 0) <=? (x E W et y= g(x))
si on note g ( x) = gi ( x, 0), définissant ainsi g de classe Ci car composée
de X---+ (x, 0), (classe C 00 ) et de 9i qui est de classe ci, (composante de
f!i). C'est fini! On a g.
•
L'ennui de ce théorème des fonctions implicites est son aspect local
d'une part, et le fait que g n'est pas connue. Mais on va voir par contre
que dg est localement connue.
Comment déborder l'aspect local
Sous les hypothèses du Théorème 17.10, à savoir n ouvert de EX F
et f de classe ci telle que dfy(a, b) soit un isomorphisme de F sur G,
par continuité de dfy, il existe un ouvert n' contenant (a, b) tel que sur
0 1 , dfy reste à valeurs dans Isomc(F, G), ouvert de Lc(F, G).
Soit alors W et W' deux voisinages ouverts de a dans E, et g et g 1
deux applications de classe ci de W et W' respectivement dans F telles
que l'on ait .deux ouverts U et U' de E x F contenant (a, b) avec :
((x, y) E U et f(x, y) = f(a, b)) <=? (x E W, y= g(x))
et
((x,y) EU' et f(x,y) = f(a,b)) <=? (x E W' et y= g 1 (x)),
alors sur W" = la composante connexe de a dans W n W', à condition
que pour tout x de W 11 , (x, g(x)) et (x, g 1 (x)) soient dans n', (ouvert
sur lequel dfy reste un isomorphisme) on a g = g 1 , car si on introduit
A= W" n ((g - g')-i( {O} )), c'est un fermé de W", (g - g 1 continue), et
un ouvert car en xo E A, g( xo) = g 1 ( xo) = YO et comme on peut appliquer
le Théorème 17.10 en (xo, Yo) puisque df y(xo, Yo) E Isomc(F, G), g et g'
coïncident dans un voisinage (inconnu) de xo avec la seule solution locale
fournie par le Théorème 17.10, on a un voisinage de xo sur lequel g = g 1 ,
ce voisinage (quitte à le restreindre) est dans A. Comme a E A, et que
W" est connexe, A = W" et finalement g = g 1 sur W".
Calcul de la différentielle de la fonction implicite.
Analyse fonctionnelle
En notant alors W = {x E E, (x,O) EV}, on a un ouvert de E car
si xo E W, il existe un ouvert élémentaire WE x wp de l'espace produit
Ex F tel que (xo,O) E WE x wp CV. Mais alors, pour tout x' de WE,
( x', 0) est dans V donc w E C W, on a bien W voisinage de xo et ce pour
toutxo de W.
On a finalement
((x, y) EU et f(x, y)= 0) <=? (x E W et y= g(x))
si on note g ( x) = gi ( x, 0), définissant ainsi g de classe Ci car composée
de X---+ (x, 0), (classe C 00 ) et de 9i qui est de classe ci, (composante de
f!i). C'est fini! On a g.
•
L'ennui de ce théorème des fonctions implicites est son aspect local
d'une part, et le fait que g n'est pas connue. Mais on va voir par contre
que dg est localement connue.
Comment déborder l'aspect local
Sous les hypothèses du Théorème 17.10, à savoir n ouvert de EX F
et f de classe ci telle que dfy(a, b) soit un isomorphisme de F sur G,
par continuité de dfy, il existe un ouvert n' contenant (a, b) tel que sur
0 1 , dfy reste à valeurs dans Isomc(F, G), ouvert de Lc(F, G).
Soit alors W et W' deux voisinages ouverts de a dans E, et g et g 1
deux applications de classe ci de W et W' respectivement dans F telles
que l'on ait .deux ouverts U et U' de E x F contenant (a, b) avec :
((x, y) E U et f(x, y) = f(a, b)) <=? (x E W, y= g(x))
et
((x,y) EU' et f(x,y) = f(a,b)) <=? (x E W' et y= g 1 (x)),
alors sur W" = la composante connexe de a dans W n W', à condition
que pour tout x de W 11 , (x, g(x)) et (x, g 1 (x)) soient dans n', (ouvert
sur lequel dfy reste un isomorphisme) on a g = g 1 , car si on introduit
A= W" n ((g - g')-i( {O} )), c'est un fermé de W", (g - g 1 continue), et
un ouvert car en xo E A, g( xo) = g 1 ( xo) = YO et comme on peut appliquer
le Théorème 17.10 en (xo, Yo) puisque df y(xo, Yo) E Isomc(F, G), g et g'
coïncident dans un voisinage (inconnu) de xo avec la seule solution locale
fournie par le Théorème 17.10, on a un voisinage de xo sur lequel g = g 1 ,
ce voisinage (quitte à le restreindre) est dans A. Comme a E A, et que
W" est connexe, A = W" et finalement g = g 1 sur W".
Calcul de la différentielle de la fonction implicite.