Difféomorphismes, fonctions implicites
375
L'application essentielle à ce niveau du Théorème 17 .8 est le Théorème
des fonctions implicites.
THÉORÈME 17 .10. - (Dit des fonctions implicites). Soient E, F, G trois
Banach, n. un ouvert de E X F et f : n 1--+ G une application de classe
C 1 . Soit (a, b) E 0 tel que la différentielle partielle dfy(a, b) soit un
isomorphisme de F sur G. Afors il existe un voisinage ouvert U de (a, b)
dans n, et un voisinage ouvert W de a dans E ainsi qu'une application g
de classe ci de W dans F, telle que:
((x, y) EU et f(x, y)= f(a, b)) *> (x E W et y= g(x)).
Ce théorème semble monstrueux et rebutant. En fait son idée est
simple: localement, l'équation f(x, y) = f(a, b), d'inconnue x, se résoud
en y= g(x), avec g de classe C 1 .
Nous allons justifier le résultat en supposant que f(a, b) = 0, sinon
on s'y ramène en remplaçant f par f - f(a, b).
On définit fi: n 1--+ EX G par fi(x,y) = (x,f(x,y)).
La fonction fi est de classe ci car ses composantes le sont et, pour
(h, k) dans E x Fon a:
dfi (a, b)(h, k) = (h, dfx(a, b)(h) + dfy(a, b)(k)) ,
(voir au corollaire 16.48 cette notation des différentielles partielles). Mais
alors dfi (a, b) est bijective de E x F sur E x G car si on se donne
(r,s) dans Ex G, et si on cherche (h,k) tel que dfi(a,b)(h,k) = (r,s)
forcément h = r, puis k = (dfy(a,b))-i (s - dfx(a,b)(r)) : l'existence
et l'unicité d'un antécédent donne bien dfi (a, b) bijective. Mais alors, le
Théorème 17 .8 d'inversion locale s'applique. Il existe dans Ex Fun ouvert
U contenant (a, b ), et dans E x G un ouvert V contenant fi (a, b) = (a, 0),
tel que fi réalise un C 1 difféomorphisme de U sur V.
En notant z = f(x,y) pour (x,y) dans U, comme fi(x,y) = (x,z)
l'application f! 1 , au couple (x, z) de V va associer un antécédent (x, y)
avec y fonction de x et de z, notée gi (x, z), et on a
((x, y) EU et z = f(x, y))*> ((x, z) EV et y= g1(x, z)),
car c'est traduire fi(x,y) = (x,z) et (x,y) = f!i(x,z).
Mais alors,
((x,y) EU et f(x,y) = 0) *> ((x,O) E Vet y= gi(x,O)).
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L'application essentielle à ce niveau du Théorème 17 .8 est le Théorème
des fonctions implicites.
THÉORÈME 17 .10. - (Dit des fonctions implicites). Soient E, F, G trois
Banach, n. un ouvert de E X F et f : n 1--+ G une application de classe
C 1 . Soit (a, b) E 0 tel que la différentielle partielle dfy(a, b) soit un
isomorphisme de F sur G. Afors il existe un voisinage ouvert U de (a, b)
dans n, et un voisinage ouvert W de a dans E ainsi qu'une application g
de classe ci de W dans F, telle que:
((x, y) EU et f(x, y)= f(a, b)) *> (x E W et y= g(x)).
Ce théorème semble monstrueux et rebutant. En fait son idée est
simple: localement, l'équation f(x, y) = f(a, b), d'inconnue x, se résoud
en y= g(x), avec g de classe C 1 .
Nous allons justifier le résultat en supposant que f(a, b) = 0, sinon
on s'y ramène en remplaçant f par f - f(a, b).
On définit fi: n 1--+ EX G par fi(x,y) = (x,f(x,y)).
La fonction fi est de classe ci car ses composantes le sont et, pour
(h, k) dans E x Fon a:
dfi (a, b)(h, k) = (h, dfx(a, b)(h) + dfy(a, b)(k)) ,
(voir au corollaire 16.48 cette notation des différentielles partielles). Mais
alors dfi (a, b) est bijective de E x F sur E x G car si on se donne
(r,s) dans Ex G, et si on cherche (h,k) tel que dfi(a,b)(h,k) = (r,s)
forcément h = r, puis k = (dfy(a,b))-i (s - dfx(a,b)(r)) : l'existence
et l'unicité d'un antécédent donne bien dfi (a, b) bijective. Mais alors, le
Théorème 17 .8 d'inversion locale s'applique. Il existe dans Ex Fun ouvert
U contenant (a, b ), et dans E x G un ouvert V contenant fi (a, b) = (a, 0),
tel que fi réalise un C 1 difféomorphisme de U sur V.
En notant z = f(x,y) pour (x,y) dans U, comme fi(x,y) = (x,z)
l'application f! 1 , au couple (x, z) de V va associer un antécédent (x, y)
avec y fonction de x et de z, notée gi (x, z), et on a
((x, y) EU et z = f(x, y))*> ((x, z) EV et y= g1(x, z)),
car c'est traduire fi(x,y) = (x,z) et (x,y) = f!i(x,z).
Mais alors,
((x,y) EU et f(x,y) = 0) *> ((x,O) E Vet y= gi(x,O)).