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Analyse fonctionnelle
pour les employer, il faut travailler sur un seul espace, c'est ce que nous
allons faire en remarquant que f sera localement bijective si et seulement
si fi = (df(a))- 1 of l'est, avec fi : ni--+ E cette fois.
On sait alors, ('Thme 2, Théorème 6.37 dit des approximations successives), qu'avec r > 0 tel que Bo(a,r) C n, et si cp: x ~ x - fi(x) soit
contractante sur cette boule, fi réalisera un homéomorphisme d'un ouvert
U1 contenant a sur Vi = Bo(/1(a), (1 - k)r), cp étant k· Lipschitzienne
en fait.
Il nous faut donc avoir cp contractante, et pour majorer llcp(x)-cp(y)ll
on va utiliser le Théorème des accroissements fini, (Théorème 16.44).
On a
dcp(x) = idE - dfi(x), avec fi = (df(a))- 1 of
donc
dfi(x) = (df(a))- 1 o df(x),
(ne pas oublier que la différentielle d'une application linéaire continue, u,
en n'importe quel point, c'est u).
Donc dcp(x) = idE - (df(a))- 1 o df(x) est telle que dcp(a) =O.
Soit donc k E]O, 1[, par continuité de dcp, (f est de classe C 1 donc df
est continue), il existe r > 0 tel que
Bo(a,r) c net llldcp(x)iil ~ k (< 1) sur Bo(a,r).
Par accroissements finis, cp est k· Lipschitzienne sur Bo, (a, r) donc on a
déjà un ouvert Ui, avec a E Ui c Bo (a, r) c n, tel que fi réalise un
homéomorphisme de U1 sur Bo(/1(a), (1 - k)r), d'où, comme df(a) est
ouverte, (d/(a))- 1 est continue) et comme f = df(a) o fi, on sait que f
réalise un homéomorphisme de U1 sur Vi = df(a)(Bo (/1(a), (1- k)r)).
Puis df(a) E Isomc(E, F), ouvert de Lc(E, F), (Théorème 17.3), et df
est continue, donc il existe U2 ouvert de E contenant a et inclus dans n
tel que, 'Vx E U2, df(x) E Isomc(E, F). Mais alors, avec U = Ui n U2,
ouvert avec a E U C net V = f(U) ouvert car U est ouvert de U1, et
f est un homéomorphisme de U1 sur Vi, donc V, ouvert de Vi, lui-même
ouvert de F, est un ouvert de F, on a un homéomorphisme f de U sur V
tel que, 'Vx EU, df(x) E Isomc(E,F): le Théorème 17.7 s'applique, d'où
f difféomorphisme de U sur V de classe C 1 .
•
DÉFINITION 17 .9. - Si f est différentiable en a, on dit que f est étale en a
lorsque df(a) E Isomc(E, F).
On vient donc de voir qu'une application de classe C 1 , étale en a est
un difféomorphisme local, tout ceci dans le cadre des espaces de Banach,
évidemment.
Analyse fonctionnelle
pour les employer, il faut travailler sur un seul espace, c'est ce que nous
allons faire en remarquant que f sera localement bijective si et seulement
si fi = (df(a))- 1 of l'est, avec fi : ni--+ E cette fois.
On sait alors, ('Thme 2, Théorème 6.37 dit des approximations successives), qu'avec r > 0 tel que Bo(a,r) C n, et si cp: x ~ x - fi(x) soit
contractante sur cette boule, fi réalisera un homéomorphisme d'un ouvert
U1 contenant a sur Vi = Bo(/1(a), (1 - k)r), cp étant k· Lipschitzienne
en fait.
Il nous faut donc avoir cp contractante, et pour majorer llcp(x)-cp(y)ll
on va utiliser le Théorème des accroissements fini, (Théorème 16.44).
On a
dcp(x) = idE - dfi(x), avec fi = (df(a))- 1 of
donc
dfi(x) = (df(a))- 1 o df(x),
(ne pas oublier que la différentielle d'une application linéaire continue, u,
en n'importe quel point, c'est u).
Donc dcp(x) = idE - (df(a))- 1 o df(x) est telle que dcp(a) =O.
Soit donc k E]O, 1[, par continuité de dcp, (f est de classe C 1 donc df
est continue), il existe r > 0 tel que
Bo(a,r) c net llldcp(x)iil ~ k (< 1) sur Bo(a,r).
Par accroissements finis, cp est k· Lipschitzienne sur Bo, (a, r) donc on a
déjà un ouvert Ui, avec a E Ui c Bo (a, r) c n, tel que fi réalise un
homéomorphisme de U1 sur Bo(/1(a), (1 - k)r), d'où, comme df(a) est
ouverte, (d/(a))- 1 est continue) et comme f = df(a) o fi, on sait que f
réalise un homéomorphisme de U1 sur Vi = df(a)(Bo (/1(a), (1- k)r)).
Puis df(a) E Isomc(E, F), ouvert de Lc(E, F), (Théorème 17.3), et df
est continue, donc il existe U2 ouvert de E contenant a et inclus dans n
tel que, 'Vx E U2, df(x) E Isomc(E, F). Mais alors, avec U = Ui n U2,
ouvert avec a E U C net V = f(U) ouvert car U est ouvert de U1, et
f est un homéomorphisme de U1 sur Vi, donc V, ouvert de Vi, lui-même
ouvert de F, est un ouvert de F, on a un homéomorphisme f de U sur V
tel que, 'Vx EU, df(x) E Isomc(E,F): le Théorème 17.7 s'applique, d'où
f difféomorphisme de U sur V de classe C 1 .
•
DÉFINITION 17 .9. - Si f est différentiable en a, on dit que f est étale en a
lorsque df(a) E Isomc(E, F).
On vient donc de voir qu'une application de classe C 1 , étale en a est
un difféomorphisme local, tout ceci dans le cadre des espaces de Banach,
évidemment.