Difféomorphismes, fonctions implicites
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DÉFINITION 17 .6. - Soient U et V deux ouverts des espaces vectoriels
normés E et F. On dit que I : U f-+ V est un C 1 difféomorphisme de
U sur V si et seulement si I est un homéomorphisme de U sur V, I et 1- 1
étant de classe C 1 .
On définirait de même un difféomorphisme de classe, cP, et on peut
dire qu'un homéomorphisme est un c 0 difféomorphisme.
THÉORÈME 17. 7. - Soient U et V des ouverts de E et F, espaces de
Banach et 1 un homéomorphisme de U sur V, de classe C 1 . C'est un
C 1 difféomorphisme si et seulement si, 'Vx EU, dl(x) E Isomc(E, F).
On suppose donc I bijective de U sur V, avec dl continue de Lc(E, F)
dans Lc(F, E) et telle que, 'Vx EU, dl(x) est bijective. Donc le Théorème
17.1 s'applique, 1- 1 est différentiable, et en y = l(x),dl- 1 (y) =
(dl(J-l(y)))-1.
Mais alors, dl-l est composée de y ~ 1- 1 (y) = x, puis de x ~
dl(x) = u et enfin de u ~ u- 1 de Isomc(E, F) dans Lc(F, E). Toutes
ces applications étant continues, (c'est le Théorème 17.3 pour u ~ u- 1 )
on a bien dl-l continue d'où I est un C 1 difféomorphisme.
La réciproque est évidente.
•
On peut remarquer que si I est de classe C 1 , et si a de U est tel que
dl(a) E Isomc(E, F) ouvert de Lc(E, F), par continuité de dl, localement
dl(x) restera bijective.
Nous allons voir qu'en plus I elle-même va être localement bijective.
2. Théorème d'inversion locale
THÉORÈME 17 .8. - Soit E et F deux Banach, S1 un ouvert de E, I une
application de classe C 1 de S1 dans F et a dans S1 tel que dl(a) E
Isomc(E, F). Alors il existe des ouverts U et V de E et F, avec a EU C n,
tels que 1 réalise un C 1 difféomorphisme de U sur V.
Le côté bijectif de dl(a) permet d'inverser localement la fonction 10n va commencer par chercher un voisinage U1 de a tel que I réalise
une bijection de U1 sur Vi = l(U1). C'est un problème du type: partant
de y proche de l(a), trouver un et un seul x tel que l(x) =y. Or, dans
les Banach, nous disposons d'outils pour résoudre des équations : c'est
le Théorème du point fixe, ou celui des approximations successives. Mais
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DÉFINITION 17 .6. - Soient U et V deux ouverts des espaces vectoriels
normés E et F. On dit que I : U f-+ V est un C 1 difféomorphisme de
U sur V si et seulement si I est un homéomorphisme de U sur V, I et 1- 1
étant de classe C 1 .
On définirait de même un difféomorphisme de classe, cP, et on peut
dire qu'un homéomorphisme est un c 0 difféomorphisme.
THÉORÈME 17. 7. - Soient U et V des ouverts de E et F, espaces de
Banach et 1 un homéomorphisme de U sur V, de classe C 1 . C'est un
C 1 difféomorphisme si et seulement si, 'Vx EU, dl(x) E Isomc(E, F).
On suppose donc I bijective de U sur V, avec dl continue de Lc(E, F)
dans Lc(F, E) et telle que, 'Vx EU, dl(x) est bijective. Donc le Théorème
17.1 s'applique, 1- 1 est différentiable, et en y = l(x),dl- 1 (y) =
(dl(J-l(y)))-1.
Mais alors, dl-l est composée de y ~ 1- 1 (y) = x, puis de x ~
dl(x) = u et enfin de u ~ u- 1 de Isomc(E, F) dans Lc(F, E). Toutes
ces applications étant continues, (c'est le Théorème 17.3 pour u ~ u- 1 )
on a bien dl-l continue d'où I est un C 1 difféomorphisme.
La réciproque est évidente.
•
On peut remarquer que si I est de classe C 1 , et si a de U est tel que
dl(a) E Isomc(E, F) ouvert de Lc(E, F), par continuité de dl, localement
dl(x) restera bijective.
Nous allons voir qu'en plus I elle-même va être localement bijective.
2. Théorème d'inversion locale
THÉORÈME 17 .8. - Soit E et F deux Banach, S1 un ouvert de E, I une
application de classe C 1 de S1 dans F et a dans S1 tel que dl(a) E
Isomc(E, F). Alors il existe des ouverts U et V de E et F, avec a EU C n,
tels que 1 réalise un C 1 difféomorphisme de U sur V.
Le côté bijectif de dl(a) permet d'inverser localement la fonction 10n va commencer par chercher un voisinage U1 de a tel que I réalise
une bijection de U1 sur Vi = l(U1). C'est un problème du type: partant
de y proche de l(a), trouver un et un seul x tel que l(x) =y. Or, dans
les Banach, nous disposons d'outils pour résoudre des équations : c'est
le Théorème du point fixe, ou celui des approximations successives. Mais