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Analyse fonctionnelle
1
et, si llluo - ulll <
_ 1 , on aura lllvlll < 1, donc u 0 1 ou= idE -v
llluo Ill
inversible, donc u inversible : la boule ouverte de centre uo de rayon
1
_ 1
est dans Isomc(E, F) qui est bien un ouvert de Lc(E, F).
llluo Ill
De plus u = uo o (idE - v), avec les mêmes notations,
donc u-l = (idE-V)-l ou 0 1 et u- 1 -u 0 1 = (f: vn) ou 0 1 -u 0 1
n=O
soit U-l - u 0 1 = (f: Vn) O u 0 1 d'où
n=l
llu- 1 - u0 1 11 ~ (Ë lllvllln) lllua 1 111 = lllua 1 111 1 ~ 1 ~ 1 1 ~ 1 1 1 .
On a ;~ 1 ~l~ll~lll = 0, et comme lllvlll ~ lllua 1 111 llluo - ulll,
finalement lim lllvlll = 0 d'où lim u- 1 = u 0 1 , ce qui donne la
u-+uo
u-+uo
continuité de l'application u -v-+ u- 1 .
•
REMARQUE 17.5. - Même si j'aime beaucoup cette justification, et tout
ce chapitre où en fait on utilise tous les résultats établis de-ci de-là, il
faut quand même garder les pieds sur terre et dire un mot de ce qui se
passe en dimension finie, cadre essentiel d'application pratique du calcul
différentiel.
Le lemme peut se justifier comme suit : si idE - v est non inversible,
c'est qu'il existe x =/= 0 tel que x - v(x) = 0, mais alors 11~ 1 ~?11 = 1 donc
lllvlll ~ 1: contredit lllvlll < 1.
Mais on peut justifier le théorème 17 .3 sans le lemme car si E et F de
dimensions finies n et p sont tels qu'il existe uo isomorphisme de E sur
F, on a n = p, et, en fixant des bases de E et F on peut travailler sur
les matrices carrées d'ordre n. Alors dans Mn(IR) ~ 1Rn
2 , Isomc(E, F)
est det- 1 (R*), l'application déterminant étant polynômiale donc continue,
Isomc{E, F) = GLn(R) dans ce cas, est un ouvert de Mn{IR), puis
1
A""+ A- 1 , avec A- 1 = d At(comatricede A), est continue, ses n 2
et
·
fonctions composantes étant des fractions rationnelles par rapport aux
coordonnées Uij de A, dont le dénominateur ne s'annule pas.
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Analyse fonctionnelle
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et, si llluo - ulll <
_ 1 , on aura lllvlll < 1, donc u 0 1 ou= idE -v
llluo Ill
inversible, donc u inversible : la boule ouverte de centre uo de rayon
1
_ 1
est dans Isomc(E, F) qui est bien un ouvert de Lc(E, F).
llluo Ill
De plus u = uo o (idE - v), avec les mêmes notations,
donc u-l = (idE-V)-l ou 0 1 et u- 1 -u 0 1 = (f: vn) ou 0 1 -u 0 1
n=O
soit U-l - u 0 1 = (f: Vn) O u 0 1 d'où
n=l
llu- 1 - u0 1 11 ~ (Ë lllvllln) lllua 1 111 = lllua 1 111 1 ~ 1 ~ 1 1 ~ 1 1 1 .
On a ;~ 1 ~l~ll~lll = 0, et comme lllvlll ~ lllua 1 111 llluo - ulll,
finalement lim lllvlll = 0 d'où lim u- 1 = u 0 1 , ce qui donne la
u-+uo
u-+uo
continuité de l'application u -v-+ u- 1 .
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REMARQUE 17.5. - Même si j'aime beaucoup cette justification, et tout
ce chapitre où en fait on utilise tous les résultats établis de-ci de-là, il
faut quand même garder les pieds sur terre et dire un mot de ce qui se
passe en dimension finie, cadre essentiel d'application pratique du calcul
différentiel.
Le lemme peut se justifier comme suit : si idE - v est non inversible,
c'est qu'il existe x =/= 0 tel que x - v(x) = 0, mais alors 11~ 1 ~?11 = 1 donc
lllvlll ~ 1: contredit lllvlll < 1.
Mais on peut justifier le théorème 17 .3 sans le lemme car si E et F de
dimensions finies n et p sont tels qu'il existe uo isomorphisme de E sur
F, on a n = p, et, en fixant des bases de E et F on peut travailler sur
les matrices carrées d'ordre n. Alors dans Mn(IR) ~ 1Rn
2 , Isomc(E, F)
est det- 1 (R*), l'application déterminant étant polynômiale donc continue,
Isomc{E, F) = GLn(R) dans ce cas, est un ouvert de Mn{IR), puis
1
A""+ A- 1 , avec A- 1 = d At(comatricede A), est continue, ses n 2
et
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fonctions composantes étant des fractions rationnelles par rapport aux
coordonnées Uij de A, dont le dénominateur ne s'annule pas.
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