Difféomorphismes, fonctions implicites
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LI! connaissance de d/- 1 (b) = (d/(f- 1 (b)))- 1 va nous permettre
d'étudier une éventuelle continuité de d/- 1 .
Justifions d'abord le
THÉORÈME 17.3. - Soit E et F deux Banach. L'ensemble Isomc(E, F) des
isomorphismes continus de E sur Fest un ouvert de Lc(E, F) et s'il est non
vide, l'application u ~ u- 1 est continue de Isomc(E, F) dans Isomc(F, E)
(et dans Lc(F, E), puisque Isomc(F, E) est ouvert dans Lc(F, E)J.
D'abord, si Isomc(E, F) est vide, il est ouvert, et la suite du théorème
est obtenue puisque le cas ne se pose pas.
Supposons Isomc(E, F) =/= 0, soit uo dans Isomc(E, F), on veut
inverser u voisin de uo. En fait, si on revient par u 0
1 dans E, on peut
utiliser un résultat plus simple :
LEMME 17.4. - Soit E un Banach et v dans Lc(E, E) tel que lllvlll < 1,
l'application linéaire idE - v est inversible.
1
' "°' n
(Penser : 1 _ x = L....J x ... )
n;;;i:o
On sait, ('lbme 2, Théorème 6.25), que Lc(E, E) est complet, (comme
E) pour la norme d'application linéaire continue. Dans cet espace complet,
la série des vn est absolument convergente car lllvnlll ~ lllvllln : on a
une série géométrique convergente puisque lllvlll < 1, donc la série des
Vn converge (Théorème 11.12).
OO
p
Soit S = L vn = lim Sp avec Sp = L vP.
n=O
p--++oo
n=O
On a (idE - v) o Sp = idE -vP+ 1 , et comme lim vP+l = 0, et
p--++oo
que le produit de composition est continue de (Lc(E, E)) 2 dans Lc(E, E)
(bilinéaire, 1· Lipschitzien car Ilia o blll ~ lllalll lllblll>. à la limite on a
(idE-v)oS = idE, et onjustifierait de même l'égalité So(idE-v) = idE,
d'où le lemme.
•
Retour au théorème. On au de Lc(E, F) inversible si et seulement si
u 0 1 ou= w l'est, de E dans E cette fois. Pour appliquer le lemme, on
met w sous la forme idE - v, soit
'd
-1
-1
-1
V=l E-Uo OU=Uo ouo-uo ou
= u 0 1 o (uo - u) d'où lllvlll ~ lllu 0 1 lll llluo - ulll