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Analyse fonctionnelle
THÉORÈME 17.1. - Soit U et V deux ouverts de E et F, Banach, et f
un homéomorphisme de U sur V différentiable en a de U. Alors 1- 1 est
différentiable en b =/(a) si et seulement si df(a) E lsomc(E, F), et alors
df- 1 (/(a)) = (df(a))- 1 .
Ce qui précède montre que la condition est nécessaire, sans les hypothèses E et F Banach d'ailleurs.
Elle est suffisante, car supposons df(a) dans Isomc(E, F), ensemble
des isomorphismes continus de E sur F, et pour y voisin de b dans V,
avec x = /- 1 (y) dans U on a:
y - b = f(x) - /(a)= df(a)(x - a)+ llx - alle(x),
avec lim e(x) =O. On prend les images des deux membres par (d/(a))- 1 ,
x-+a
il vient, en transformant un peu,
17.2. X - a= f- 1 (y) - f- 1 (b)
= (df(a))- 1 (y- b) - llx - ail (df(a))- 1 (e(x))
En fait, ( df (a) )- 1 est linéaire continue de F sur E, (Tome 2, corollaire
6.41) et si on montre que llx-all (df(a))- 1 (e(x)) est o(lly-bjl), l'égalité
précédente s'écrivant /- 1 (y) - /- 1 (b) = (df(a))- 1 (y- b) + o(jjy- bll)
prouvera bien la différentiabilité de 1- 1 en b, avec l'égalité df- 1 (b) =
(d/(/-l(b)))-1.
Or avec x = f- 1 (y) et / - l continue, on a lim ê (f- 1 (y)) = 0
y-+b
puisqu'alors x tend vers a, et comme (df(a))- 1 est continue, a fortiori
lim (df(a))- 1 (e(f- 1 (y))) =O.
y-+b
Puis en repartant de l'égalité 17.2, en norme on a llx - ail ~
.
1
Ill (d/(a))- 1 111 llY - bll + llx - ail li (df(a)):- 1 (e(f- 1 (y)))11- Soit 2' il
1
existe a tel que llY - bll ~ a ~ ll(d/(a))- 1 (e(/- 1 (y)))ll ~ 2' d'où
en fait (i- ~) llx - ail ~ Ill (d/(a))- 1 111 llY - bjj, et on peut majorer alors llx - ail li (df(a))- 1 (e(x))ll, (pour x = /- 1 (y) associé) par
2llY - bll Ill (d/(a))- 1 111 Il (df(a))- 1 (e(f- 1 (y))) Il, ce qui donne bien
l'aspect o(llY - bll) de la quantité /- 1 (y) - /- 1 (b) - (df(a))- 1 (y - b),
(on a l IY - bl I en facteur de quelque chose qui tend vers 0 si y tend vers
~
.
Analyse fonctionnelle
THÉORÈME 17.1. - Soit U et V deux ouverts de E et F, Banach, et f
un homéomorphisme de U sur V différentiable en a de U. Alors 1- 1 est
différentiable en b =/(a) si et seulement si df(a) E lsomc(E, F), et alors
df- 1 (/(a)) = (df(a))- 1 .
Ce qui précède montre que la condition est nécessaire, sans les hypothèses E et F Banach d'ailleurs.
Elle est suffisante, car supposons df(a) dans Isomc(E, F), ensemble
des isomorphismes continus de E sur F, et pour y voisin de b dans V,
avec x = /- 1 (y) dans U on a:
y - b = f(x) - /(a)= df(a)(x - a)+ llx - alle(x),
avec lim e(x) =O. On prend les images des deux membres par (d/(a))- 1 ,
x-+a
il vient, en transformant un peu,
17.2. X - a= f- 1 (y) - f- 1 (b)
= (df(a))- 1 (y- b) - llx - ail (df(a))- 1 (e(x))
En fait, ( df (a) )- 1 est linéaire continue de F sur E, (Tome 2, corollaire
6.41) et si on montre que llx-all (df(a))- 1 (e(x)) est o(lly-bjl), l'égalité
précédente s'écrivant /- 1 (y) - /- 1 (b) = (df(a))- 1 (y- b) + o(jjy- bll)
prouvera bien la différentiabilité de 1- 1 en b, avec l'égalité df- 1 (b) =
(d/(/-l(b)))-1.
Or avec x = f- 1 (y) et / - l continue, on a lim ê (f- 1 (y)) = 0
y-+b
puisqu'alors x tend vers a, et comme (df(a))- 1 est continue, a fortiori
lim (df(a))- 1 (e(f- 1 (y))) =O.
y-+b
Puis en repartant de l'égalité 17.2, en norme on a llx - ail ~
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Ill (d/(a))- 1 111 llY - bll + llx - ail li (df(a)):- 1 (e(f- 1 (y)))11- Soit 2' il
1
existe a tel que llY - bll ~ a ~ ll(d/(a))- 1 (e(/- 1 (y)))ll ~ 2' d'où
en fait (i- ~) llx - ail ~ Ill (d/(a))- 1 111 llY - bjj, et on peut majorer alors llx - ail li (df(a))- 1 (e(x))ll, (pour x = /- 1 (y) associé) par
2llY - bll Ill (d/(a))- 1 111 Il (df(a))- 1 (e(f- 1 (y))) Il, ce qui donne bien
l'aspect o(llY - bll) de la quantité /- 1 (y) - /- 1 (b) - (df(a))- 1 (y - b),
(on a l IY - bl I en facteur de quelque chose qui tend vers 0 si y tend vers
~
.