CHAPITRE 17
Difféomorphismes, fonctions implicites
Ce chapitre, assez court, va permettre de déboucher sur le théorème
des fonctions implicites, point de départ de l'étude des arcs de courbes,
des nappes, et plus généralement des variétés en implicite. Nous allons
utiliser des résultats, (Théorème de Banach, ou des approximations successives), établir au chapitre VI sur les espaces vectoriels normés.
1. Difféomorphismes
Soit U et V deux espaces topologiques. On a défini, (Tome 2 définition 1.38)), les homéomorphismes de U sur V, c'est-à-dire les bijections I
de U sur V telles que I et la bijection réciproque 1- 1 soient continues.
Qu'en est-t-il de la différentiabilité, si on suppose que U et V sont des
ouverts de E et F espaces vectoriels normés?
D'abord, le fait qu'un homéomorphisme I de U sur V soit différentiable
n'implique pas que 1- 1 le soit. Ainsi, pour U = V = IR, l'application
I : x ~ x 3 est un homéomorphisme de U sur V, dérivable partout, mais
1- 1 : t ~ t 1 1 3 n'est pas dérivable en O.
Cependant, si un homéomorphisme Ide U sur V, (ouverts dans des
e.v.n) est différentiable en a, et si 1- 1 est différentiable en b = l(a), les
deux applications linéaires continues dl(a) et dl- 1 (b) sont inverses l'une
de l'autre, car l'identité u-l o I) (x) = X, pour tout X de U, donne en
différentiant en a, (Théorème 16.17): dl- 1 (f(a)) o dl(a) = idE puisque
la différentielle de x ~ x, (linéaire continue) en n'importe quel point
est cette application linéaire elle-même, (exemple 16.20). Mais de même,
Vy EV, Io 1- 1 (y) =y donne dl(a) o dl- 1 (b) = idp d'où le résultat. •
Cette propriété admet une réciproque dans le cadre des espaces complets.
Difféomorphismes, fonctions implicites
Ce chapitre, assez court, va permettre de déboucher sur le théorème
des fonctions implicites, point de départ de l'étude des arcs de courbes,
des nappes, et plus généralement des variétés en implicite. Nous allons
utiliser des résultats, (Théorème de Banach, ou des approximations successives), établir au chapitre VI sur les espaces vectoriels normés.
1. Difféomorphismes
Soit U et V deux espaces topologiques. On a défini, (Tome 2 définition 1.38)), les homéomorphismes de U sur V, c'est-à-dire les bijections I
de U sur V telles que I et la bijection réciproque 1- 1 soient continues.
Qu'en est-t-il de la différentiabilité, si on suppose que U et V sont des
ouverts de E et F espaces vectoriels normés?
D'abord, le fait qu'un homéomorphisme I de U sur V soit différentiable
n'implique pas que 1- 1 le soit. Ainsi, pour U = V = IR, l'application
I : x ~ x 3 est un homéomorphisme de U sur V, dérivable partout, mais
1- 1 : t ~ t 1 1 3 n'est pas dérivable en O.
Cependant, si un homéomorphisme Ide U sur V, (ouverts dans des
e.v.n) est différentiable en a, et si 1- 1 est différentiable en b = l(a), les
deux applications linéaires continues dl(a) et dl- 1 (b) sont inverses l'une
de l'autre, car l'identité u-l o I) (x) = X, pour tout X de U, donne en
différentiant en a, (Théorème 16.17): dl- 1 (f(a)) o dl(a) = idE puisque
la différentielle de x ~ x, (linéaire continue) en n'importe quel point
est cette application linéaire elle-même, (exemple 16.20). Mais de même,
Vy EV, Io 1- 1 (y) =y donne dl(a) o dl- 1 (b) = idp d'où le résultat. •
Cette propriété admet une réciproque dans le cadre des espaces complets.