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Analyse fonctionnelle
n
n
2
soit
xo =~(La~ - ~(Lai) )·
i=l
i=l
On a un seul point critique et en fait xo est positif ou nul, nul seulement si
tous les ai sont égaux, et si Yo = a = ai, Vi. Donc si ai = a2 = ... = an,
pas de point critique dans l'ouvert 0 = R+ X R, pas d'extremum. Si les ai
ne sont pas tous égaux, en (xo, Yo) on calcule la différentielle d'ordre 2.
â2
n
n
On a r = âx; (xo, Yo) = 2 : 2 - : 3 L(ai - Yo) 2 avec L(ai - Yo) 2 =
0
0 i=l
i=l
,
n
n
n
.
â 2 g(xo,Yo)
1 ~
nxo,doùr= - 2 - 2 = - - 2 .Puiss =
â ây
=-2 L..)ai2x0
x0
2x0
x
x0 i=l
Yo)
n
n
= - : 2 (L.ai - Lai)= 0, (vu la valeur de Yo).
0 i=l
i=l
Enfin, t = 829 ~~ Yo) = -~. d'où la différentielle d'ordre 2 valant
xo
d 2 g(xo,yo)(u,v) = ---;. u 2 - ~ v 2 , avec xo > 0, elle est définie
2x 0
xo
négative : il y a maximum local strict en (xo, yo) de g, donc de f.
U.
D'abord, comme cp of est continue sur [a, b], ,P(f) existe. On donne à fun
accroissementh,ona,P(f+h) =lb rp(f(t)+h(t))dt,or,(Taylor-Lagrange
à l'ordre 2, pour rp, entre /(t) etJ(t) + h(t)), il existe 9(t, h) entre 0 et 1
tel que:
cp(f (t) + h(t)) = cp(f(t)) + h(t)cp 1 (f(t)) + h:~t) cp 11 (f(t) + 9(t, h)h(t)),
d'où q,(f + h) - q,(f) =lb h(t)cp 1 (f(t))dt
+~lb h 2 (t)cp 11 (f(t) + 9(t, h)h(t))dt.
On comprend bien que la première intégrale est linéaire en h, et que la
seconde est sans doute o(llhlloo).
Posons d,P(f)(h) =lb h(t)(cp 1 o f)(t)dt, d,P(f) est linéaire et
ld,P(f)(h)I ~ (b- a)llrp' o /lloollhlloo donc d,P(f) est (b- a)llrp' o /lloo
Lipschitzienne : elle est continue. Il reste à voir si
est o(llhlloo).