Calcul différentiel
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8f
2
1
47
8f
1
1
47 , '
Or -
= -- x - - y+ - et - = - - x - - y+ - dou (x y)
ax
3
12
3
8y
12
2
4 ,
,
point critique si et seulement si (x, y) est solution de { s; t 6 ~ ~~:~.On
utilise les multiplicateurs 1-~ puis 1-~ d'où
{
-47x = 47(-24 + 3)
{X = 21
-47y=47(4-24) ~ y=20"
a 2 1
2 a 2 1
1
a 2 1
1
Comme ax2 = -3· axay = - 12 et {Jy2 = - 2 , et que, f étant
polynômiale de degré 2, la formule de Taylor-Lagrange (ou Young) est exacte
à l'ordre 2, on a.
1 (
2 2 2
1 2)
!(21+h,20 + k) = !(21, 20) + 2 - 3 h - 12 hk - 2 k
= f (21, 20) - 2~ (8h 2 + 2hk + 6k 2 )
1 ((
k)
2
47 2)
= f (21, 20) - 12 2h + 4 + 16 k :
il y a donc maximum absolu strict en (21, 20).
10. La fonction f est C 00 sur Ri. x R : les extrema sont à chercher parmi les
points critiques. Mais comme f est à valeurs strictement positives et que
la fonction Log est strictement croissante sur ]0, +oo(, on peut chercher les
extrema de g(x,y) = Logf(x,y) sur Ri. X R, g étant aussi C 00 • On a
n
g(x,y) = -i Ln(211"x) - 2 ~ L(ai -y) 2 d'où
i=l
n
n
89 = -n + - 1 - """'(ai - y) 2 et 89 = .!. """'(ai - y).
8x
2x
2x2 L.J
8y
X L.J
i=l
i=l
On a ( xo, YO) point critique si et seulement si :
n
n
Yo = ~Lai, et xo = ~ L(ai - Yo) 2 , d'où xo ~ O. C'est encore
i=l
i=l
n
n
1 "'"""' 2
2yo "'"""'
2
xo = n L.Jai - n L.Jai +Yo·
i=l
i=l
n
Comme Lai= nyo, il reste
i=l