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Analyse fonctionnelle
S .
Q
é ·
P011"
2 P07r ·
k 2
1 y E 7r , en cnvant y = - = - 2 - s1 n = · qo, cosny =
qo
qo
.
lxlnlcosnyl
cos(2kpo7r) = 1, avec lxl > 1 on a encore hm
v'1i
= oo :
k-++oo
n
divergence.
Donc si lxl > 1, il y a non existence de f, pour tout y.
cos ny
( einy)
Enfin si lxl = 1, pour x = 1, un(l, y) = v'1i = 'Re v'1i par
transformation d'Abel, il y a convergence si y=/:- 0 (27r), (sommes lt. einy 1
bornées en pet q et .Jn tend vers 0 en décroissant), d'où existence de /(1, y)
pour y=/:- 0 (27r) et pour x = -1, un(-1, y)= cosn}n + 7r) d'où existence
de /(-1, y) si y=/:- 7r (27r).
Il y a continuité sur le domaine de convergence V, avec
V= n U {(1, y); y=/:- 0(27r)} U {(-1, y); y=/:- 7r(27r)}.
q
En effet posons Sp,q = L cos ny, pour q ~ p.
n=p
Pourn>pona:
~
~
~
Un= Vn cosny = Vn (Sp,n - Sp,n-1) donc, avec Up = Sp,p v1P
q
q-l
r
r+l
q
Lun(x,y) = LSp,r(~ - ;r+J + ~ Sp,q·
n=p
r=p
Supposonsquexo = 1etyo=/:-0 {27r). Onimposex E [O, 1] et IY-Yol ~a:,
et assez petit pour que y ne soit pas nul modulo 211".
1
xr
xr+l
En fait ISp,ql ~ _
1
_ _
1
~ M = constante en y, les r.: - r.:-T1
sin!!.
vr vr+l
2
sont positifs, d'où lt un(x,y)I ~ M ~ ~ ~ : on obtient le critère
n=p
de Cauchy uniformément en x dans [O, l], y E [Yo - a:; Yo +a:] d'où la
convergence uniforme de la série des un(x, y) et la continuité de f en
(1,yo). On fait le même travail en (-l,y1) avec Yl =/:- 7r (27r) car alors
cosn(y1 + 7r)
un(-1, Yl) =
Vn
avec Yl + 7r =/:- 0 (27r).
9. Comme f, polynômiale est de classe 0 00 sur R 2 les extrema éventuels sont
atteints en des points critiques.