8.
Calcul différentiel
363
Pour lxl > 1, lim lxnyl = +oo, (si y =f. 0), mais par valeurs discrètes.
n-++oo
Que fait alors sin(xny)? mystère! TirOns un voile pudique, sur les questions
que l'on ne sait pas résoudre et revenons à l'ouvert n =] -1, l[xR.
On a ! un(x, y) = nxn-ly cos(xny) donc, si lxl ~ a < 1 et IYI ~ b, on
a 1 ! un(x, y) 1 ~ nlaln-lb: il y a convergence normale, d'où existence et
OO
continuité de :~ = L:: nxn- 1 cos(xny) sur n.
n=O
Comme 1 :~ un(x,y)I = lxncos(xny)I ~ an, on a aussi existence et
continuité de :~ sur n d'où f de classe C 1 .
Mais on comprend en fait qu'il en est de même des dérivées de tout ordre
(sommes de termes en lxln-cte facteur d'un cosinus ou d'un sinus) d'où f
de classe C 00 sur ] - 1, 1 [ x R en fait.
l
xncosnyl
an
Pour lxl ~ a < 1, lun(x, y)I =
Vn
~ Vn : on a convergence
normale sur [-a, a] x R de la série des fonctions un. d'où continuité de f
sur n =) - 1, l[xR.
Puis 8;; = y'n xn-lcosny donc 1 8 8 ~1 ~ y'n an-l sur [-a,a] X R,
toujours avec 0 ~ a < 1, on a convergence uniforme (car normale) de la
série des dérivées donc :~ existe sur n. Comme 8;; = -y'n xn sin ny,
on majore en module par y'n an d'où la même conclusion, donc existence
et continuité de :~ et ~ sur n par convergence normale des séries de
fonctions sur tout [-a, a] x R avec a < 1. On a donc f de classe G 1 sur
{1, et même de classe C 00 , car les dérivées de toute Ordre en X et y se
majorent en module par une somme finie de termes du type (cte). nPlaln sur
[-a, a] x R, d'où convergence normale des séries des dérivées si lai < 1.
Voyons si on peut ici préciser le domaine de définition.
F = {ny + 2pir: (n,p) E z 2 } est sous-groupe de R, donc partout dense ou
du type al, (voir Tome 2, chapitre 5 exercice 1).
Si F = R, ({::} ' #.. ~ Q), il existe une infinité de n dans Z tels que
71"
cos(ny) ~ ~· or cosinus est paire, il y a donc une infinité d'indices tels
que cos(ny) ~ - 2
1 avec n E N, si lxl > 1, comme lim lx); = +oo,
n-++oo vn
un(x, y) ne tend pas vers 0, d'où divergence si y~ 7rQ.
Calcul différentiel
363
Pour lxl > 1, lim lxnyl = +oo, (si y =f. 0), mais par valeurs discrètes.
n-++oo
Que fait alors sin(xny)? mystère! TirOns un voile pudique, sur les questions
que l'on ne sait pas résoudre et revenons à l'ouvert n =] -1, l[xR.
On a ! un(x, y) = nxn-ly cos(xny) donc, si lxl ~ a < 1 et IYI ~ b, on
a 1 ! un(x, y) 1 ~ nlaln-lb: il y a convergence normale, d'où existence et
OO
continuité de :~ = L:: nxn- 1 cos(xny) sur n.
n=O
Comme 1 :~ un(x,y)I = lxncos(xny)I ~ an, on a aussi existence et
continuité de :~ sur n d'où f de classe C 1 .
Mais on comprend en fait qu'il en est de même des dérivées de tout ordre
(sommes de termes en lxln-cte facteur d'un cosinus ou d'un sinus) d'où f
de classe C 00 sur ] - 1, 1 [ x R en fait.
l
xncosnyl
an
Pour lxl ~ a < 1, lun(x, y)I =
Vn
~ Vn : on a convergence
normale sur [-a, a] x R de la série des fonctions un. d'où continuité de f
sur n =) - 1, l[xR.
Puis 8;; = y'n xn-lcosny donc 1 8 8 ~1 ~ y'n an-l sur [-a,a] X R,
toujours avec 0 ~ a < 1, on a convergence uniforme (car normale) de la
série des dérivées donc :~ existe sur n. Comme 8;; = -y'n xn sin ny,
on majore en module par y'n an d'où la même conclusion, donc existence
et continuité de :~ et ~ sur n par convergence normale des séries de
fonctions sur tout [-a, a] x R avec a < 1. On a donc f de classe G 1 sur
{1, et même de classe C 00 , car les dérivées de toute Ordre en X et y se
majorent en module par une somme finie de termes du type (cte). nPlaln sur
[-a, a] x R, d'où convergence normale des séries des dérivées si lai < 1.
Voyons si on peut ici préciser le domaine de définition.
F = {ny + 2pir: (n,p) E z 2 } est sous-groupe de R, donc partout dense ou
du type al, (voir Tome 2, chapitre 5 exercice 1).
Si F = R, ({::} ' #.. ~ Q), il existe une infinité de n dans Z tels que
71"
cos(ny) ~ ~· or cosinus est paire, il y a donc une infinité d'indices tels
que cos(ny) ~ - 2
1 avec n E N, si lxl > 1, comme lim lx); = +oo,
n-++oo vn
un(x, y) ne tend pas vers 0, d'où divergence si y~ 7rQ.