362
Analyse fonctionnelle
6.
La fonction f est de classe C 00 sur R x R*, et le sinus étant borné par 1,
lim
y 2 sin ~ : elle est continue sur R 2 •
(x,y)-+(x,O)
Y
Différentiabilité en (xo, 0).
0
l . f(xo + h,O) - f(xo,O) _ 1 . 0 _ 0 8! ( O) _ 0
na 1m
h
- 1m - => - 8 xo, - ,
h-+O
h-+O
X
puis
l . f(xo,k)-f(xo,O)
1 . k . xo
0
8!(
O) 0
1m
k
= 1m sin -k = => - 8 xo, = .
k-+O
k-+O
y
On considère alors f ( xo + h, k) , en passant en polaires, avec h = p cos(}
Jh2 +k2
k
. (}
di d
1 .
. 2 8 . (xo + pcos(J) 0 . 1
et =psm ,onétu e one 1mpsm sm
. (}
= :1 ya
p-+O
p sm
différentiabilité en (xo, 0).
Classe C 1 éventuelle? Pour y :f. 0, on a 8
8 f = y cos ~,et lim
8
8 f
X
y
(x,y)-+(xo,O) x
0 : cette dérivée partielle est continue en (xo, 0). Par contre, on a ~~ =
2y sin~ - x cos~- Si xo :f. 0, ~ prend toutes valeurs de R* si (x, y) tend
y
y
y
vers (xo, 0), cos~ n'a pas de limite, donc <;!, n'a pas de limite. Par contre,
Y
vy
.
si xo = 0, x cos~ tend vers 0 donc lim <;!, (x, y)= O.
y
(x,y)-+(o;o) vy
Finalement f n'est pas de classe C 1 mais df est continue en (0, 0).
Pour la différentiabilité d'ordre 2, en (xo, 0) avec xo :f. 0, comme df n'est
pas continue en (xo, 0) elle n'est pas différentiable.
8 2 !
En (0, 0), 8yôx (0, 0) =
8!
8f
R..(x,0)- a(O,O)
lim vy
y
X-+0
X
d 2 f (0, 0) n'existe pas.
0
ycoslim _ _ Y =
y-+0
y
= 0 : comme
a 2 1
1, alors que ôxôy (0, 0)
7. Pour lxl < 1, lsin(xny)I ,...., lxnl IYI si y :f. 0, d'où la convergence
absolue de la série; vraie aussi si y = O. En fait lsintl ~ ltl donne
lsin(xny)I ~ lxnl IYI ~ anb si on a lxl ~ a < 1 et IYI ~ b : il y a
convergence normale sur [-a, a] x [-b, b], (avec 0
Pour x = 1, un(x, y) = sin(xny) =sin y : il y a divergence si y :f. k7r, (le
terme général ne tend pas vers 0) mais un(l, k7r) = 0 donc /(1, k7r) = 0
ainsi que plus généralement f(p, k7r) pour (p, k) E Z 2 .
Analyse fonctionnelle
6.
La fonction f est de classe C 00 sur R x R*, et le sinus étant borné par 1,
lim
y 2 sin ~ : elle est continue sur R 2 •
(x,y)-+(x,O)
Y
Différentiabilité en (xo, 0).
0
l . f(xo + h,O) - f(xo,O) _ 1 . 0 _ 0 8! ( O) _ 0
na 1m
h
- 1m - => - 8 xo, - ,
h-+O
h-+O
X
puis
l . f(xo,k)-f(xo,O)
1 . k . xo
0
8!(
O) 0
1m
k
= 1m sin -k = => - 8 xo, = .
k-+O
k-+O
y
On considère alors f ( xo + h, k) , en passant en polaires, avec h = p cos(}
Jh2 +k2
k
. (}
di d
1 .
. 2 8 . (xo + pcos(J) 0 . 1
et =psm ,onétu e one 1mpsm sm
. (}
= :1 ya
p-+O
p sm
différentiabilité en (xo, 0).
Classe C 1 éventuelle? Pour y :f. 0, on a 8
8 f = y cos ~,et lim
8
8 f
X
y
(x,y)-+(xo,O) x
0 : cette dérivée partielle est continue en (xo, 0). Par contre, on a ~~ =
2y sin~ - x cos~- Si xo :f. 0, ~ prend toutes valeurs de R* si (x, y) tend
y
y
y
vers (xo, 0), cos~ n'a pas de limite, donc <;!, n'a pas de limite. Par contre,
Y
vy
.
si xo = 0, x cos~ tend vers 0 donc lim <;!, (x, y)= O.
y
(x,y)-+(o;o) vy
Finalement f n'est pas de classe C 1 mais df est continue en (0, 0).
Pour la différentiabilité d'ordre 2, en (xo, 0) avec xo :f. 0, comme df n'est
pas continue en (xo, 0) elle n'est pas différentiable.
8 2 !
En (0, 0), 8yôx (0, 0) =
8!
8f
R..(x,0)- a(O,O)
lim vy
y
X-+0
X
d 2 f (0, 0) n'existe pas.
0
ycoslim _ _ Y =
y-+0
y
= 0 : comme
a 2 1
1, alors que ôxôy (0, 0)
7. Pour lxl < 1, lsin(xny)I ,...., lxnl IYI si y :f. 0, d'où la convergence
absolue de la série; vraie aussi si y = O. En fait lsintl ~ ltl donne
lsin(xny)I ~ lxnl IYI ~ anb si on a lxl ~ a < 1 et IYI ~ b : il y a
convergence normale sur [-a, a] x [-b, b], (avec 0
Pour x = 1, un(x, y) = sin(xny) =sin y : il y a divergence si y :f. k7r, (le
terme général ne tend pas vers 0) mais un(l, k7r) = 0 donc /(1, k7r) = 0
ainsi que plus généralement f(p, k7r) pour (p, k) E Z 2 .