Calcul différentiel
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Diffé~ntiabilité en (a, 0), avec a =f. O.
Pour y > 0, f(a, y) = Y.. e -~ donc f(a, y) - f(a, O} = .! e -~ tend
a
y
a
vers .! si y tend verso+, alors que f(a,y) = _y_ e~ si y < 0 et
a
a
lim f(a, y) - f(a, O} = _.!,donc BJ (a, 0), avec a =f. 0, n'existe pas : f
y .... oy
a
8y
est non différentiable en (a, 0), a =f. O.
Différentiabilité en (0, b).
On a f(O, y) = 0 pour tout y donc ~~ (0, yo) = 0 en fait en chaque (0, Yo).
.
lbl -~
Puis, pour x =f. 0, f(x, b) = - e "' donc, comme f(O, b) = 0,
X
lim f(x, b) - f(O, b) = lim J!1 e -~.
x->O
X
x->O x2
Si b = 0, les valeurs sont nulles, donc tendent vers 0, si b =f. 0 lbJ = t
X
tend vers +oo et te-t tend alors vers 0, donc :~ (0, b) = 0 pour tout b. Il
en résulte que la seule différentielle possible en (0, b) est l'application nulle.
Voyonssif(h,b+k}esto(ll(h,k}ll),soitsi
lim
f(h,b+k) =0.
(h,k)->(0,0) ../h2 + k2
Ona
f(h,b+k) -o . h-0 t
"--';:=x:=:=::::::::#" -
s1 - , e
Jh2 + k2
et si b =f. 0, t = lb~ kl tend vers +oo si (h, k) tend vers (0, 0), donc te-t
tend vers 0 alors que 1
h
1 ~ 1 : on a :finalement f différentiable en
Jh2 + k2
(0, b) si b =f. O.
Et en (0, 0)? a-t-on
lim
f(h, k) = 0? Si h = 0, oui, mais avec
(h,k)->(0,0) Jh2 + k2
k = h 2 , h =f. 0, on a f(h, k) =
h
2
e- 1 quantité équivalente à
Jh2 + k2 h../h2 + k4
h
.
d
1
1 .
h
d
o+
o.
.
elhl qw ten verse ou-; swvant que ten vers
ou
, m.aJ.s qw ne
tend pas vers 0 : f n'est pas différentiable en (0, O}.