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Analyse fonctionnelle
sur n = (R x R*) - ( LJ Dn), la série des Un est convergente suivant le
nEN
critère des séries alternées.
Soit mo = (xo, Yo) E n, avec Yo #- 0, xo #- 0 sinon mo E Do, il existe
r > 0 tel que Bo(mo, r) reste dans n car les points d'abscisse xo sur les
Dn ont pour ordonnée - xo , et si on suppose par exemple xo > 0, on a soit
n
Yo > 0, (cas (Ï) ), soit 3!n tel que - xo 1 < Yo < - xo, (cas ® ), soit
n+
n
yo < -xo, (cas@), mais dans chaque cas, un voisinage de mo reste dans
n.
1
N-1
1
On peut donc majorer f ( x, y) - ' °" ( -l) n par I 1 N I localement
~ x+ny
x+ y
n=O
pour le même N assez grand, d'où une convergence uniforme «locale» et
une continuité de f sur n.
Si y= 0, et x #- 0, un(x, 0) = (-l)n ne tend pas vers 0: il y a divergence.
X
. 8un
(-l)n+l 18Unl
1
.
Puis -8 = (
)2 : -8 fV """""22 pour y#- 0, (on est dans n: il y a
x
x+ny
x
n y
8f
OO
(-l)n+l
une convergence localement uniforme en (x, y) donc - 8 = ' °" ( ) 2
x
~ x+ny
n=O
8u
(-l)n+ln
est continue en (x, y). Quand à 8yn = (
) 2 , c'est de nouveau une
x+ny
série alternée, dont le module, équivalent à ~ tend vers 0, en décroissant
ny
n
dvn
x-ny
1
car ce module est (
) 2 = Vn et -d = (
) 3
"'
- """""22 :
X + ny
n
x + ny n-++oo n y
devient négatif, on a encore une convergence en série alternée, localement
uniforme, d'où l'existence et la continuité de :~,et finalement f est de classe
C 1 sur n.
5. La fonction f est de classe C 00 sur S1 = R* x IR*.
Etude en (0, b). Pour x #- 0, f(x, y)= x IY~ e -~.
X
t
IYI _ IYI
Or, pour t réel lim te - = 0, donc pour y #- 0, lim 2 e ;2° = 0,
t-++oo
x-+OX
on peut poser f(O, y) = 0 pour 11. #- O. Comme pour y = 0 et x #- 0,
f(x, 0) = 0, on pose finalement flO, y) = 0 pour tout y de R: et f devient
continue sur R 2 car si (x, y) tend vers (0, Yo), on a soit x = 0, (et y tend
vers yo) auquel cas f(x, y) = f(O, y) = 0 tend vers 0, soit x #- 0 et
f (x, y) = x ( :~ e - ~) avec x qui tend vers 0 et :~ e - ~ borné donc là
encore
lim
f(x, y) = 0 = f(O, Yo).
(x,y)-+(0,yo)