Calcul différentiel
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Or pour x =f. y, g~(x, y) = (x - y)f' (7) - (~~x) - f(y)) et,
x-y
(toujours Taylor-Lagrange, cette fois entre y et x),
f(y) - f(x) = (y - x)f'(x) + (y-; x)
2 !"(x), Ç entre x et y, donc
g~(x, y) = !" 2 (Ç) d'où lim g~(x, y) = f" 2 (a) = g~(a, a) et on
(x,y)-+(a,a)
établit de même la continuité de g~ en (a, a) d'où finalement g de classe C 1
sur IR 2 .
4. Soit Dn la droite Dn = {(x, y); x + ny = O}, les un(x, y) = (-l)n ne
x+ny
sont définies toutes que sur R 2 - ( LJ Dn) .
nEN
~·
0
Co4@ :1.
De plus, si y =f. 0, et x sont fixés, pour n assez grand x+ny est du signe de y,
donc la série des Un est devenue alternée, lun(x, y)I "' _!_I I' donc tend vers
.
ny
0, de plus si y > 0, IUn(x, y)I devient - 1 - , il décroit avec n croissant,
ny+x
alors que pour y < 0, 1 Un ( x, y) 1 devient ( \
là aussi décroissant :
n -y -x