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Analyse fonctionnelle
2. La fonction f est G 00 sur l'ouvert 0 = R 2 - {(O, O)}, continue sur R 2 , (en
polaires, six= p cosO et y= p sinO, f(x,y) = p 2 sin \tend vers 0 si p
p
tend vers 0).
2 •
1
0
âf
On a âx (0,0) = lim
x-+O+
x sm~x
0, et, (symétrie en x et y)
âf
ây(O,O) =O.
Puis
âf
âf
2
2 •
1
f(O + h, 0 + k) - f(O, 0) - h âx (0, 0) - k ây (0, 0) = (h + k )sm h 2 + k 2
= ll(h,k)ll 2 sinh2 :k2
est o(ll(h, k)l I), d'où f différentiable en (0, 0).
Puis âf = 2x sin-- 1 - -
2 x
1
lai
âx
x2 + y2 (x2 + y 2 ) cos x 2 + y 2 , on passe en po res,
il vient:
âf
. 1
2
1
- = 2p cos 0 sm - - - cos 0 cos - .
âx
p2p
p2
On a lim 2p cosO sin 1
2 = 0, mais si cosO =/:- 0, (soit 0 =/:- ~ 2 (11')),
p-+O
p
lim .! = +oo alors que cos : 2 prend toutes les valeurs dans [-1, 1]
p-+O+ P
fT
puisque 1
2 tend vers +oo, donc 8
8 ! (x, y) n'a pas de limite quand (x, y)
p
X
tend vers (0, 0) : f n'est pas de classe G 1 sur IR 2 .
3. La diagonale~ = {(x,x),x E R} est un fermé de R 2 , (R séparé) et sur
l'ouvert 0 = R 2 " ~. g est de classe G 2 • Différentiabilité en (a, a) de ~. On
cherche l'existence de g~(a, a) donc de lim _hl (g(a + h, a) - g(a, a)).
h-O
h,PO
Ona ~(g(a+h,a)-g(a,a)) = ~ [ f(a + h~ - f(a) -!'(a)]. Comme/ est
h2
classe G 2 , 30(a, h) E]O, 1[ tel que f(a+h) = f(a)+hf'(a)+2 f"(a+Oh),
1 [f(a + h) - f(a)
, ]
(Taylor-Lagrange à l'ordre 2) donc h
h
- f (a) vaut
~ f"(a +Oh) d'où g~(a) = ~ f"(a) existe, ainsi que g~(a) = ~ !"(a),
car g(a, a+k) = f(a) -!~a+ k) = f(a + kk - f(a) : un calcul analogue
est possible.