Calcul différentiel
357
10. Extrema de f : R+ X Ili f-+ Ili définie par
f(x,y) = (27rx)-~exp(- 2 1 f)ai-y) 2 ). où (a1, ... ,an) est
X i=l
donné dans Rn.
ll. Soit une fonction cp de classe C 2 de IR dans Ili, et l'espace vectoriel
E = c 0 ([a, b], IR) normé par la norme de la convergence uniforme.
On définit : E f-+ R par(/) = ib cp(f(t))dt. Différentiabilité
de .
SOLUTIONS
1. La fonction f est de classe C 00 sur n = R 2 - {(O, O)}, les fonctions
composantes l'étant, ayant des dérivées partielles de tout ordre. La deuxième
composante est même C 00 sur IR 2 car polynomiale.
Soit u(x, y) = (x 2 :yy 2 )°' la première composante. Pour (x, y) "1- (0, 0)
.
p 2 cos (} sin(}
.
on pose x = pcos(}, y= psm(J et u(x,y) =
p2°'
tend vers 0 s1
(x, y) tend vers (0, 0) si et seulement si a < 1. Donc f est continue sur
R 2 <=>a< 1.
Pui 8u(O O) _ 1 . u(x,O) -u(O,O) _ O . .
8u(O O) _ O
s a , - lm
-
ams1que a , - .
X
;;8
X
y
On aura différentiabilité en (0, 0) si et seulement si u(h, k) - u(O, 0) -
Oh - Ok = o( 11 ( h, k) JI), soit, en passant en polaires avec h = r cos

.
r 2 cos

• •
r cos

r sm 2
= o(r), ou s1 hm
2
=
r °'
r-+O+
r °'
0, et"ce pour tout a < ~Classe C 1 sur R 2 ? Il reste à étudier la continuité en (0, 0) des dérivées
partielles, et vu la symétrie en x et y on examine
au
y
2ayx 2
1-20< . (}
2 1-20< 29 . (}
ax - (x2 + y2)°' (x2 + y2)0<+l = p sm - ap cos sm
= p1- 2 °'(1 - 2acos 2 9)sin9.
On a continuité de ~~ en (0, 0) si et seulement si a< ~·d'où f de classe
C 1 sur R 2 si et seulement si a< ~-