356
Analyse fonctionnelle
EXERCICES
1. Soit f : IR 2 f-+ R 2 définie par /(0, 0) = (0, 0) et si (x, y) "!- (0, 0)
par f(x,y) = ((x 2 :Yy 2 ) 0 ,xy). Valeurs de a pour que f soit
différentiable? De classe C 1 ?
2. Différentiabilité de f définie sur R 2 par /(0, 0) = 0 et f(x, y) =
(x 2 + y 2 ) sin 2
1 2 si (x, y) "!- (0, 0).
X +y
3. Soit f de classe C 2 de IR dans IR, on définit g de IR 2 dans R par
g(x, x) = f'(x) et, six"!- y, g(x, y) = f(x) - f(y). Différentiabilité
x-y
de g?
4. Etude de la différentiabilité de la fonction définie par f ( x, y) =
OO
(-lr
L - -, (x et y réels).
n=O x+ny
5. E:xis~nce, continuité, différentiabilité de f définie par f(x, y) =
IYI -~
- e "'.
X
6. Etude de la différentiabilité à l'ordre 2 de la fonction f définie par
f(x, 0) = 0 et f(x, y) = y 2 sin '.: si y"!- O.
y
OO
7. Etude de la fonction f définie, pour x et y réels par L sin(xny) :
n=O
définition, continuité, différentiabilité.
8. Défiintion, continuité, différentiabilité de f définie par f ( x, y) =
OO
L xncosny.
n=l
Vn
9. Extrema de f : IR 2 f-+ IR définie par
1
(X Y)
f(x, y)= 2 xy + (47 - x - y) 3 + 4 ·