Calcul différentiel
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De même on a:
THÉORÈME 16.86. - Soit f deux fois différentiable de n ouvert convexe de
E, (e.v.n.) dans R. Elle est convexe si et seulement si la forme quadraUque
h.,,.. a:i f(a)(h, h) est positive pour tout a den.
On a (f convexe) {:::>- (\i(x,y) E n 2 , Oxy convexe) avec, vu les
hypothèses, Oxy deux fois dérivable sur [O, l], donc, (Corollaire 16.83),
(f convexe){:::>- (O~y(t) ~ 0 sur [O, 1]) et ce pour tout (x, y) de n 2 •
Supposons f connexe. On a O~y(t) ~ O. Or on a
O~y = df(tx + (1 - t)y)(x - y)
donc
(};y(t) = d 2 f(tx + (1 - t)y)(x - y, X - y).
Mais alors soit a E S1, h E E - {O}, 3r > 0 tel que la boule fermée
de centre a et de rayon r soit dans n. Avec x = (a + r l l~l I) et
(
h)
2r
.
1
y = a - r llhll., on a x et y dans n, x - y = llhll h, et s1 t = 2 ,
1
1
2 x + "2y = a, d'où
2 ( 2r 2r ) ( 2r )2 2
d f(a) îîhIT h, llhll h = îîhIT d f(a)(h,h) ~O.
Donc (f ci>nvexe) ::::? ( dJ.f(a)(O,O) = 0 par bilinéarité, d'où la forme quadratique d 2 f(a) positive.
Réciproquement, si \ih E E, \ia E S1, dJ. f(a)(h, h) ~ 0, en particulier
(}~y(t) = d 2 f(tx + (1-t)y)(x -y, x -y) est positif donc f est convexe.•