354 Analyse fonctionnelle
THÉORÈME 16.84. - Soit f une fonction différentiable de n ouvert convexe
de E, (e.v.n.), dans R. Elle est convexe si et seulement si V(x, y) E 0 2 ,
f(x) ~ f(y) + df(y)(x - y).
Si f est convexe, la fonction Bxy : t """' f(tx + {1 - t)y) est convexe,
(Théorème 16. 76) de [O, 1] dans IR, donc, (Théorème 16.80),
(J~y(O) = (Oxy)d(O) ~ Bxy(l) ~ Oxy(O)
avec (J~y(t) = df(tx + {1 - t)y)(x - y), d'où
df(y)(x - y) ~ f(x) - f(y) : on a l'inégalité.
Réciproquement, si la condition est remplie, pour (x, y) E 0 2 et
(t,u) E [0,1] 2 ,onaux+{l-u)y-(tx+{l-t)y) = (u-t)(x-y),donc
f(ux + {1- u)y) ~ f(tx + {1- t)y) + df(tx + {1 - t)y)((u - t)(x -y))
soit encore
16.85.
Oxy(u) ~ Oxy(t) + (u - t)O~y(t),
mais de cette inégalité on déduit la convexité de Oxy. car on va justifier la
croissance de O~y et le corollaire 16.82 s'appliquera.
Supposons 16.85, avec u < t, on a u - t < 0 et on en déduit
Oxy(u) - Oxy(t) ~ (J~y(t).
u-t
Mais on a aussi Oxy(t) ~ Oxy(u) + (t-u)~y(u), la place de u par rapport
à t n'intervenant pas pour établir 16.85. Comme cette fois t - u > 0 on
en déduit l'inégalité
Oxy(t) - Oxy(u) >-: O' ( )
t
r xy u
-u
et finalement pour u < t, l'inégalité (J~y(u) ~ O~y(t).
Mais alors Oxy est convexe sur JO, l[, (ouvert car le corollaire 16.82
suppose I ouvert). Comme par ailleurs Oxy est continue sur [O, l], un
passage à la limite donne la convexité sur [O, l]. Ceci étant vrai pour
tout ( x, y) de 0 2 , d'après le Théorème 16. 76 on a bien f convexe.
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