Calcul différentiel
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En particulier g(z) ~ g(y) soit f(z) - zfd,(z) ~ f(y) - yfd_(z) ou
encore (y - z)Jd,(z) ~ f(y) - f(z) et comme y - z > 0 on a:
Jd,(z) ~ f(y) - f(z).
y-z
Mais de même u ~ f(u) - ufd,(z) est décroissante sur [x, z], (dérivée
à droite négative), on en déduit l'inégalité f(z) - f(x) ~ Jd,(z).
z-x
Mais alors on a f(z) - f(x) ~ f(y) - f(i) avec z - x > 0 d'où
z-x
y-z
f(z) - f(x) ~ z - x (!(y) - f(z)) qui implique
y-z
f(z)(l+z-x)=f(z)(y-x)~f(x)+z-x f(y)
y-z
y-z
y-z
y-x
soit, comme - - > 0, on a
y-z
f(z) ~ y - z f(x) + z - x f(y),
y-x
y-x
z-y
y-z
y-x y-z
avecz =tx+(l-t)ydonct = - - = - - e t l - t = - - - - - =
x-y
y-x
y-x y-x
z-x
- - , l'inégalité s'écrit
y-x
f(tx + (1 - t)y) ~ tf(x) + (1 - t)f(y).
Si t = 0 ou 1, ou si x = y cette inégalité est évidente, si y < x, le
changement de t en 1 - t la redonne : finalement on a bien î/( x, y) E J 2 ,
î/t E [O, l], f(tx + (1 - t)y) ~ tf(x) + (1 - t)f(y) donc f est convexe.•
COROLLAIRE 16.83. - Si f est deux fois dérivable de I intervalle ouvert
dans R elle est convexe si et seulement si J" > 0 sur I.
Car f convexe deux fois dérivable ayant sa dérivée J' croissante,
(Corollaire 16.82), est telle que f" ~ 0, et l'hypothèse f" ~ 0 implique J'
croissante et f continue donc, (Corollaire 16.82), f convexe.
Après ce détour par les fonctions de variable réelle, revenons aux
fonctions convexes sur une partie A convexe d'un espace vectoriel normé
E.