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Analyse fonctionnelle
THÉORÈME 16.80. - Soit f une fonction convexe d'un intervalle I de R
0
dans IR. Al,ors en tout a de I f admet une dérivée à droite et une à gauche.
0
.
De plus, si a et b de I sont tels que a < b on a
0
En effet, si a E I et si a > 0 est tel que [a - a, a + a] C I pour
tout t de I - {a}, la fonction Pa(t) définie par Pa(t) = f(t) - f(a) est
t-a
croissante; si t E [a-a,a+a]-{a} on apa(a-a) ~ Pa(t) ~ Pa(a+a)
donc lim Pa ( t) = sup{pa ( t), a - a ~ t < a} existe, (fonction croissante
t-+amajorée par Pa( a+ a)), ainsi que lim Pa(t) = inf{Pa(t), a< t ~ a+a}.
t-+a+
De plus pour to E [a - a, a[, et pour tout t de ]a, a + a] on a
Pa(to) ~ Pa(t) d'où Pa(to) ~ fd(a), ceci pour tout to < a en fait, donc
f~(a) = lim Pa(t) ~ fd(a).
t-+aLa monotonie de Pa donne l'encadrement
•
COROLLAIRE 16.81. - Si f est convexe sur I; à valeurs réelles, les dérivées
0
à droite et à gauche sont des fonctions croissantes sur I.
Cela résulte immédiatement des inégalités du Théorème 16.80.
COROLLAIRE 16.82. - Une fonction f définie sur un intervalle ouvert I de
Ili, à valeurs réells est convexe si et seulement si elle est continue et admet
sur I une dérivée à droite croissante.
D'après le Théorème 16.80, f convexe est dérivable à droite et à gauche
0
sur I, donc continue à droite et à gauche, (Tome 2, Théorème 7.18), sur
0
I = I, de plus la dérivée à droite est croissante.
Réciproquement, soit x < y et z = tx + (1 - t)y avec t E]O, 1[. On a
x < z
donc elle est croissante, (Tome 2, Théorème 7 .32).
Analyse fonctionnelle
THÉORÈME 16.80. - Soit f une fonction convexe d'un intervalle I de R
0
dans IR. Al,ors en tout a de I f admet une dérivée à droite et une à gauche.
0
.
De plus, si a et b de I sont tels que a < b on a
0
En effet, si a E I et si a > 0 est tel que [a - a, a + a] C I pour
tout t de I - {a}, la fonction Pa(t) définie par Pa(t) = f(t) - f(a) est
t-a
croissante; si t E [a-a,a+a]-{a} on apa(a-a) ~ Pa(t) ~ Pa(a+a)
donc lim Pa ( t) = sup{pa ( t), a - a ~ t < a} existe, (fonction croissante
t-+amajorée par Pa( a+ a)), ainsi que lim Pa(t) = inf{Pa(t), a< t ~ a+a}.
t-+a+
De plus pour to E [a - a, a[, et pour tout t de ]a, a + a] on a
Pa(to) ~ Pa(t) d'où Pa(to) ~ fd(a), ceci pour tout to < a en fait, donc
f~(a) = lim Pa(t) ~ fd(a).
t-+aLa monotonie de Pa donne l'encadrement
•
COROLLAIRE 16.81. - Si f est convexe sur I; à valeurs réelles, les dérivées
0
à droite et à gauche sont des fonctions croissantes sur I.
Cela résulte immédiatement des inégalités du Théorème 16.80.
COROLLAIRE 16.82. - Une fonction f définie sur un intervalle ouvert I de
Ili, à valeurs réells est convexe si et seulement si elle est continue et admet
sur I une dérivée à droite croissante.
D'après le Théorème 16.80, f convexe est dérivable à droite et à gauche
0
sur I, donc continue à droite et à gauche, (Tome 2, Théorème 7.18), sur
0
I = I, de plus la dérivée à droite est croissante.
Réciproquement, soit x < y et z = tx + (1 - t)y avec t E]O, 1[. On a
x < z
donc elle est croissante, (Tome 2, Théorème 7 .32).