Calcul différentiel
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Mais 11. 79 implique également
f(y) - f(z) ~ y - z (f(x) - f(z)),
x-z
soit encore z - y (f(z) - f(x)) ~ J(z) - f(y), ce qui, après division par
z-x
z - y> 0 donne f(z) - f(x) ~ f(z) - f(y).
z-x
z-y
2) => 3) : Car soient x' et x" distincts dans I - {a), si par exemple
x' < x" < a, la condition 2) écrite avec x = x', y = x' , z = a donne en
particulier
f(a) - f(x')
f(a) - f(x")
~~-~~
'
a-x'
a-x"
f(x) - f(a)
donc en notant Pa(x) =
pour x =/:- a, on a Pa(x') ~ Pa(x")
x-a
dans ce cas. Les autres cas, (x' < a < x" ou a < x' < x 11 ) se traitent de
la même façon.
3) => 1) D'abord six= y, 1) : f(tx + (1 - t)y) ~ tf(x) + (1 - t)f(y)
est vérifiée. On suppose x =/:-y, par exemple x Si t = 0 out= 1, l'inégalité se réduit à J(y) ~ f(y) ou à f(x) ~ J(x):
c'est vérifié.
On suppose donc x .
f(z) - f(y)
x < u < y. La croissance de z -
sur I - {y} donne alors
z-y
f(x) - f(y) ~ f(u) - f(y) = f(y) - f(u),
x-y
u-y
y-u
y-u
et comme y- u > 0, on a encore - - (f(x) - f(y)) ~ f(y) - f(u), d'où
x-y
f(u) ~ f(y) - Y - u (f(x) - f(y)) = u - y f(x) + (1 - u - Y)f(y).
x-y
x-y
x-y
u-y
Comme t = - - , on a bien
x-y
f(tx + (1 - t)y) ~ tf(x) + (1 - t)f(y).
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