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Analyse fonctionnelle
par convexité de f, puisque tx + (1 - t)y et t 1 x + (1 - t')y sont dans A
convexe, et c'est bien
Oxy(>.t + (1 - >.)t 1 ) ~ >.Oxy(t) + (1 - >.)Oxy(t').
Le lien e.ntre la convexité de f et celle des Oxy va nous donner des
résultats déduits de ceux portant sur les fonctions convexes d'un intervalle
Ide IR dans R. ·Et lorsque la variable est réelle on récupère la structure
ordonnée de R, les propriétés de monotonie ... Commencons donc par
établir quelques propriétés des fonctions convexes de variable réelle.
THÉORÈME 16. 77. - Soit f une fonction d'un intervalle I de IR dans IR. Il
y a équivalence entre
1) V(x, y) E J 2 , Vt E [O, 1], f(tx + (1 - t)y) ~ tf(x) + (1 - t)f(y),
2) V(x,y,z) E J 3 , (x
( f(y) - f(x) ~ f(z) - f(x) ~ f(z) - f(y)),
y-x
z-x
z-y
f(x) - f(a)
.
3) Va E J, x ~
est croissante sur I - {a}.
x-a
16.78. Une fonction vérifiant l'une de ces conditions est dite convexe.
La seule astuce sur la convexité consiste à savoir que si un réel, y est
compris entre deux réels x et z distincts, il existe un et un seul t de [O, l],
tel que y = tx + (1 - t)z. En effet, ceci équivaut à y - z = t(x - z), et
y-z
z-y
comme x ~ y~ z, avec x =/= z, on a l'existence de t = - - = - -
x - z
z-x
qui est positif, (quotient de deux nombres de même signe), inférieur à 1
puisque 0 ~ z - y ~ z - x.
y-z
On a 1) => 2), car si x < y < z, avec t = - - on a
x-z
16.79
f(y) ~ y- z f(x) + (1 - y - z)f(z) d'où
x-z
x-z
f(y) - f(x) ~ - - - 1 f(x) + 1 - - - f(z) soit
( y-z
)
(
y-z)
x-z
x-z
on a bien
x-y
x-y
~ -
f(z) - -
f(x)
x-z
x-z
~ (y- x) (f(z) - f(x)), et comme y- x > 0
z-x
f(y) - f(x) ~ f(z) - f(x).
y-x
z-x