Calcul différentiel
349
On peut alors se demander quelles sont les conséquences pour df, du
fait que f soit positivement homogène de degré r. On a :
THÉORÈME 16.74. - Soit E et F deux espaces vectoriels normés réels, C
un cône positif ouvert de E et f une application différentiable, homogène
de degré r de C dans F, alors df est homogène de degré r - 1 de C dans
Cc(E,F).
En effet si on différentie en x l'identité f ( tx) = tr f ( x), avec () :
x ~ tx, application linéaire de E dans E, on sait que dO(x) = () est
l'homothétie de rapport t, donc
d(f o O)(x) = df(O(x)) o () = tdf(tx)
et on a l'égalité tdf(tx) = tr df(x), d'où commet> 0, l'égalité
df(tx) = tr-ldf(x) vérifiée pour tout t > 0 et tout x de C.
•
Passons maintenant aux fonctions ·convexes, en rappelant d'abord
qu'une partie A de E vectoriel réel est convexe si et seulement si, 'v'(a, b)
de A 2 , 'v't réel dans [O, 1], le segment d'extrémités a et b est dans A, soit
encore l'ensemble des ta+ {1 - t)b est inclus dans A.
DÉFINITION 16. 75. - Une fonction f définie sur une partie convexe A de
E vectoriel réel, à valeurs dans IR est dite convexe si et seulement si :
'v'(x, y) E A 2 , 'v't E [O, 1], f(tx + {1 - t)y) ~ tf(x) + {1 - t)f(y).
THÉORÈME 16. 76. - Une fonction f de A convexe de E, dans IR, est convexe
si et seulement si pour chaque (x, y) de A 2 , l'application t ~ Oxy(t) =
f(tx + {1 - t)y) est convexe de [O, 1] dans IR.
En effet, si chaque Oxy est convexe, comme Oxy(l) = f(x) et Oxy(O) =
J(y), en écrivant t = t{l) + {1-t)O, on a Oxy(t) ~ tOxy(l) + (1-t)Oxy(O)
soit f(tx + {1 - t)y) ~ tf(x) + {1 - t)f(y) et f est convexe.
Réciproquement si f est convexe, soient t et t 1 dans [O, 1], À E [O, 1]
on considère Oxy(Àt + {1 - .X)t') : on a
Oxy(Àt + {1 - .X)t') = f[(.Xt + {1 - .X)t')x + {1 - Àt - {1 - .X)t)y],
soit, comme 1 = À + 1 - À, c'est encore
= f[.Xtx + {1 - .X)t'x + .X{l - t)y + {1 - .X){l - t 1 )y]
= f[.X(tx + {1- t)y) + {1- .X)(t'x + {1- t')y)]
~ .Xf(tx + {1- t)y) + {1- .X)/(t'x + {1- t 1 )y)
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On peut alors se demander quelles sont les conséquences pour df, du
fait que f soit positivement homogène de degré r. On a :
THÉORÈME 16.74. - Soit E et F deux espaces vectoriels normés réels, C
un cône positif ouvert de E et f une application différentiable, homogène
de degré r de C dans F, alors df est homogène de degré r - 1 de C dans
Cc(E,F).
En effet si on différentie en x l'identité f ( tx) = tr f ( x), avec () :
x ~ tx, application linéaire de E dans E, on sait que dO(x) = () est
l'homothétie de rapport t, donc
d(f o O)(x) = df(O(x)) o () = tdf(tx)
et on a l'égalité tdf(tx) = tr df(x), d'où commet> 0, l'égalité
df(tx) = tr-ldf(x) vérifiée pour tout t > 0 et tout x de C.
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Passons maintenant aux fonctions ·convexes, en rappelant d'abord
qu'une partie A de E vectoriel réel est convexe si et seulement si, 'v'(a, b)
de A 2 , 'v't réel dans [O, 1], le segment d'extrémités a et b est dans A, soit
encore l'ensemble des ta+ {1 - t)b est inclus dans A.
DÉFINITION 16. 75. - Une fonction f définie sur une partie convexe A de
E vectoriel réel, à valeurs dans IR est dite convexe si et seulement si :
'v'(x, y) E A 2 , 'v't E [O, 1], f(tx + {1 - t)y) ~ tf(x) + {1 - t)f(y).
THÉORÈME 16. 76. - Une fonction f de A convexe de E, dans IR, est convexe
si et seulement si pour chaque (x, y) de A 2 , l'application t ~ Oxy(t) =
f(tx + {1 - t)y) est convexe de [O, 1] dans IR.
En effet, si chaque Oxy est convexe, comme Oxy(l) = f(x) et Oxy(O) =
J(y), en écrivant t = t{l) + {1-t)O, on a Oxy(t) ~ tOxy(l) + (1-t)Oxy(O)
soit f(tx + {1 - t)y) ~ tf(x) + {1 - t)f(y) et f est convexe.
Réciproquement si f est convexe, soient t et t 1 dans [O, 1], À E [O, 1]
on considère Oxy(Àt + {1 - .X)t') : on a
Oxy(Àt + {1 - .X)t') = f[(.Xt + {1 - .X)t')x + {1 - Àt - {1 - .X)t)y],
soit, comme 1 = À + 1 - À, c'est encore
= f[.Xtx + {1 - .X)t'x + .X{l - t)y + {1 - .X){l - t 1 )y]
= f[.X(tx + {1- t)y) + {1- .X)(t'x + {1- t')y)]
~ .Xf(tx + {1- t)y) + {1- .X)/(t'x + {1- t 1 )y)