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Analyse fonctionnelle
C'est en fait le type «jolicône »que l'on déguste au cinéma. (Publicité
gratuite, orthographe non garantie, il y a longtemps que je ne suis plus .
allé au cinéma. Vous savez ce que c'est, on vieillit, il y a les soucis de
l'existence. Vivement que j'aie terminé ce livre pour retourner au cinéma,
théâtre, concert ... )
On appelle cône dans E vectoriel sur un corps K quelconque toute
partie stable par les homothéties, (donc C telle que \:lx E C, \:/t E K, tx E
C). Nous avons ainsi recontré les cônes isotropes des formes quadratiques.
Pourquoi cette envie subite de se restreindre à des cônes positifs?
C'est parce qu'en calcul différentiel on va prendre des parties ouvertes, et
le seul cône ouvert est E puisque si n ouvert contient 0, il contient une
boule ouverte de centre 0 et par homothéties positives tout x =F 0 de E
se ramène dans cette boule. Une autre raison c'est la difficulté qu'il y a à
« traverser 0 » dans R !
DÉFINITION 16. 72. - Soit E et F deux espaces vectoriels réels, C un cône
positif Une application f de C dans F est dite positivement homogène
de poids, (ou de degré), r E IR si et seulement si, \:lx E C, 'Vt > 0,
f(tx) = tr f(x).
Ainsi, sur E, une norme est positivement homogène de poids 1, une
forme quadratique l'est de poids 2. On comprend aussi la nécessité de
supposer t > 0 pour traiter le cas de r réel quelconque.
THÉORÈME 16. 73. - Soient E et F deux espaces vectoriels normés, C un
cône positif ouvert et f une application différentiable de C dans F. Elle
est homogène de poids r si et seulement si, \:lx E C on a df ( x) ( x) = r f ( x ).
Cette relation est appelée identité d'Euler.
Si f, différentiable, est homogène de degré r, on a, 'Vt > 0 et Vx E C:
f(tx) = tr f(x). Comme f est différentiable, la fonction t -.-+ f(tx) est
dérivable et la dérivée s'écrit df(tx)(x)· = rtr-l f(x). Pour t = 1 on a
l'identité d'Euler.
Réciproquement, si on a l'identité d'Euler, pour x dans C et t > 0 on a
df(tx)(tx) = rf(tx) soit encore tdf(tx)(x) - rf(tx) = 0, puisque df(tx)
est linéaire.
Or la fonction t-.-+ cp(t) =cr f(tx) a pour dérivée
cp 1 (t) = -rcr-l f(tx) +cr df(tx)(x)
= cr-l(tdf(tx)(x) - rf(tx)).
On a donc cp 1 nulle sur JO, +oo[ donc cp fonction constante, et l'identité
cp(t) = cp(l) s'écrit encore :
\:lx E C, 'Vt > 0, f(tx) = tr f(x).
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Analyse fonctionnelle
C'est en fait le type «jolicône »que l'on déguste au cinéma. (Publicité
gratuite, orthographe non garantie, il y a longtemps que je ne suis plus .
allé au cinéma. Vous savez ce que c'est, on vieillit, il y a les soucis de
l'existence. Vivement que j'aie terminé ce livre pour retourner au cinéma,
théâtre, concert ... )
On appelle cône dans E vectoriel sur un corps K quelconque toute
partie stable par les homothéties, (donc C telle que \:lx E C, \:/t E K, tx E
C). Nous avons ainsi recontré les cônes isotropes des formes quadratiques.
Pourquoi cette envie subite de se restreindre à des cônes positifs?
C'est parce qu'en calcul différentiel on va prendre des parties ouvertes, et
le seul cône ouvert est E puisque si n ouvert contient 0, il contient une
boule ouverte de centre 0 et par homothéties positives tout x =F 0 de E
se ramène dans cette boule. Une autre raison c'est la difficulté qu'il y a à
« traverser 0 » dans R !
DÉFINITION 16. 72. - Soit E et F deux espaces vectoriels réels, C un cône
positif Une application f de C dans F est dite positivement homogène
de poids, (ou de degré), r E IR si et seulement si, \:lx E C, 'Vt > 0,
f(tx) = tr f(x).
Ainsi, sur E, une norme est positivement homogène de poids 1, une
forme quadratique l'est de poids 2. On comprend aussi la nécessité de
supposer t > 0 pour traiter le cas de r réel quelconque.
THÉORÈME 16. 73. - Soient E et F deux espaces vectoriels normés, C un
cône positif ouvert et f une application différentiable de C dans F. Elle
est homogène de poids r si et seulement si, \:lx E C on a df ( x) ( x) = r f ( x ).
Cette relation est appelée identité d'Euler.
Si f, différentiable, est homogène de degré r, on a, 'Vt > 0 et Vx E C:
f(tx) = tr f(x). Comme f est différentiable, la fonction t -.-+ f(tx) est
dérivable et la dérivée s'écrit df(tx)(x)· = rtr-l f(x). Pour t = 1 on a
l'identité d'Euler.
Réciproquement, si on a l'identité d'Euler, pour x dans C et t > 0 on a
df(tx)(tx) = rf(tx) soit encore tdf(tx)(x) - rf(tx) = 0, puisque df(tx)
est linéaire.
Or la fonction t-.-+ cp(t) =cr f(tx) a pour dérivée
cp 1 (t) = -rcr-l f(tx) +cr df(tx)(x)
= cr-l(tdf(tx)(x) - rf(tx)).
On a donc cp 1 nulle sur JO, +oo[ donc cp fonction constante, et l'identité
cp(t) = cp(l) s'écrit encore :
\:lx E C, 'Vt > 0, f(tx) = tr f(x).
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