Calcul différentiel
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EXEMPLE 16.70. - Dans IR 3 , l'ensemble des points m = (x, y, z) avec
z = f(x, y); (x, y) En ouvert de IR 2 est une nappe d'équation z = f(x, y) ..
Si en a= (a,/3), point critique, d2J(a) existe, en posant u = (h,k)
on aura pour x = a + h et y = /3 + k,
1 ( âf
2 a 2 f
a 2 f 2) 2 2
f(x,y)-f(a,/3) = 2 âx 2 (a,/3)h +2âxây hk+ ây 2 k +o(h +k ).
~!
~!
~!
En posant r = âx2 (a, /3), 8 = âxây (a, /3) = âyâx (a, /3) et
t = ::{ (a.,/3), on étudie la forme quadratique rh 2 + 28hk + tk 2 , de
matrice (: : ) , de déterminant rt - 8 2 , produit des valeurs propres.
Donc
- si rt - 8 2 > 0: on a deux valeurs propres de même signe, (celui de
r ou de t, c'est le même) la forme d 2 f(a) est
définie positive si r > 0 : il y a minimum local strict,
définie négative si r < 0 : il y a maximum local strict;
- si rt - 8 2 :6' 0 : on a deux valeurs propres de signes contraires donc
ni maximum, ni minimum;
- si rt .:... 8 2 = 0 : on ne conclut pas.
Mais en un tel point, le plan z = f(a, /3) est tangent à la nappe et
suivant les cas la nappe est localement au-dessus, (minimum local) en
dessous (maximum local) ou traverse le plan tangent.
•
Au chapitre suivant nous examinerons le problème dit des extrema
liés, qui fait intervenir le Théorème des fonctions implicites.
Terminons ce chapitre par un mot sur les fonctions homogènes et les
fonctions convexes.
6. Fonctions homogènes, fonctions convexes
DÉFINITION 16. 71. - Une partie C de E espace vectoriel réel est appelée
cône positif si et seulement si, Vx E C, Vt > 0, tx E C.