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Analyse fonctionnelle
REMARQUE 16.66. -Si d 2 f(a) est positive sans être définie, la seule chose
générale que l'on puisse dire est que f ne présente pas de maximum local, .
car comme il existe u avec d 2 f(a)(u, u) > 0 on aura des points a+>.u, (À
réel qui tend vers 0) arbitrairement proches de a, avec f(a + >.u) > f(a).
On comprend aussi que si d2 f(a) = 0 et que f admet en a des
différentielles d'ordre 3, 4, ... , on peut faire intervenir le premier entier p
tel que Of' J(a) =f. 0, écrire le développement de Taylor-Young de f en a à
l'ordre p:
1
f(a + u) = f(a) +-; dPJ(a)(u, ... , u) + o(llullP)
p.
et reprendre, à l'ordre 2. On en déduit :
THÉORÈME 16.67. - Soit n un ouvert de !Rn, et f : n f-+ Rune fonction
ayant a de n pour point critique. Soit p le plus petit entier tel que
Of' f(a) =f. O. Pour que f présente en a un minimum (resp. maximum)
il faut que p soit pair f!t que la forme p-linéaire symétrique dP f(a) soit
positive (resp. négative) et il suffit que p soit pair et Of' f (a) définie positive
(resp. définie négative).
En particulier, si p est impair, avec vo tel que Of' f (a) ( vo, ... , vo) =f. 0
et u = >.vo, >. réel, pour >. =f. 0, ).P prendra des valeurs opposées en >.
et ->. donc la forme Of' f(a) prenant des valeurs des 2 signes il n'y a ni
maximum, ni minimum.
•
REMARQUE 16.68. - Dans le cas de p pair, (p = 2 par exemple) et d'une
forme de signe constant mais non définie, il faut comprendre qu'on ne
conclut pas de manière générale à cause du terme en o( l lul IP) qui, quoique
négligeable, a un signe s'il est non nul. Dans des cas particuliers il se peut
que ce o(llullP) soit mieux connu et que l'on puisse conclure.
REMARQUE 16.69. - Avec S1 ouvert de !Rn et a de S1 point critique pour f
telle que d 2 f(a) existe, on a
puisque l'expression symétrique en u et v de d 2 f (a) ( u, v) est connue, et
on doit étudier le signe de la forme quadratique ainsi écrite. Mais il se
peut qu'un développement limité à l'ordre 2 par rapport aux Ui dispense
du calcul des dérivées secondes.
Analyse fonctionnelle
REMARQUE 16.66. -Si d 2 f(a) est positive sans être définie, la seule chose
générale que l'on puisse dire est que f ne présente pas de maximum local, .
car comme il existe u avec d 2 f(a)(u, u) > 0 on aura des points a+>.u, (À
réel qui tend vers 0) arbitrairement proches de a, avec f(a + >.u) > f(a).
On comprend aussi que si d2 f(a) = 0 et que f admet en a des
différentielles d'ordre 3, 4, ... , on peut faire intervenir le premier entier p
tel que Of' J(a) =f. 0, écrire le développement de Taylor-Young de f en a à
l'ordre p:
1
f(a + u) = f(a) +-; dPJ(a)(u, ... , u) + o(llullP)
p.
et reprendre, à l'ordre 2. On en déduit :
THÉORÈME 16.67. - Soit n un ouvert de !Rn, et f : n f-+ Rune fonction
ayant a de n pour point critique. Soit p le plus petit entier tel que
Of' f(a) =f. O. Pour que f présente en a un minimum (resp. maximum)
il faut que p soit pair f!t que la forme p-linéaire symétrique dP f(a) soit
positive (resp. négative) et il suffit que p soit pair et Of' f (a) définie positive
(resp. définie négative).
En particulier, si p est impair, avec vo tel que Of' f (a) ( vo, ... , vo) =f. 0
et u = >.vo, >. réel, pour >. =f. 0, ).P prendra des valeurs opposées en >.
et ->. donc la forme Of' f(a) prenant des valeurs des 2 signes il n'y a ni
maximum, ni minimum.
•
REMARQUE 16.68. - Dans le cas de p pair, (p = 2 par exemple) et d'une
forme de signe constant mais non définie, il faut comprendre qu'on ne
conclut pas de manière générale à cause du terme en o( l lul IP) qui, quoique
négligeable, a un signe s'il est non nul. Dans des cas particuliers il se peut
que ce o(llullP) soit mieux connu et que l'on puisse conclure.
REMARQUE 16.69. - Avec S1 ouvert de !Rn et a de S1 point critique pour f
telle que d 2 f(a) existe, on a
puisque l'expression symétrique en u et v de d 2 f (a) ( u, v) est connue, et
on doit étudier le signe de la forme quadratique ainsi écrite. Mais il se
peut qu'un développement limité à l'ordre 2 par rapport aux Ui dispense
du calcul des dérivées secondes.