Calcul différentiel
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sont arbitrairement proches de a, il ne peut pas y avoir de minimum local
~~
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LEMME 16.64. - Si a? /(a) n'est pas négative, il n'.Y a pas de maximum
local, et donc, si la forme quadratique d 2 f (a) prend des valeurs des deux
signes il n'.Y a pas maximum et pas minimum local en a.
On voudrait une conclusion plus précise, mais pour cela on va être
amené à supposer l'espace E de dimension finie car on va supposer la
sphère unité compacte, et on sait que ces deux propriétés sont équivalentes, (Tome 2, Théorème 6.36).
THÉORÈME. 16.65. - Soit n un ouvert de Rn et f une application de n
dans R. Si en a de n, point critique, la forme quadratique d 2 f (a) est
définie positive. la fonction f présente en a un minimum local, et si d 2 f (a)
est définie négative, il y a maximum local.
La sphère S = {u, llull = 1} est un compact de !Rn, donc la forme
quadratique u -v+ d 2 f(a)(u, u), continue atteint sa borne inférieure, k,
sur S, donc k >O. Mais alors, pour tout u non nul de Eon a
d2f(a) C1:11' 11:11) = 11:112 d2f(a)(u,u) ~ k,
soit encore d 2 f(a)(u, u) ~ kllull 2 .
Soit alors e < ~· 3a > 0, llull ~a=?
Jt(a + u) - f(a) - ~ d 2 f(a)(u, u)I ~ ellull 2 , d'où a fortiori
1
f(a + u) ~ f(a) + 2 d 2 f(a)(u, u) - ellull 2
~/(a)+ ~llull 2 - ellull 2
~/(a)+(~ - e) llull 2 -
k
.
Comme 2 - ê > 0, on en déduit l'inégalité stricte /(a+ u) > /(a)
pour u tel que 0 < llull ~a: il y a minimum local strict.
Le cas de d 2 /(a) définie négative s'en déduit en remplaçant f par
-/.
.