344
Analyse fonctionnelle
Comment voir si en un tel point il y a extremum?
En étudiant le signe de f (a + u) - f (a) pour u dans un voisinage
de 0 tel que a + u E A. Il peut se faire que des conditions de bon sens
permettent de conclure.
Par exemple A compact, deux points candidats a et b seulement,
l'examen des valeurs f(a) et f(b) dira où est atteint le maximum absolu
et le minimum absolu.
En un point critique, et si d 2 f(a) existe, on peut poursuivre l'étude.
En effet, par la formule de Taylor-Young, (Théorème 16.54), on sait que
1
f(a + u) = f(a) + df(a)(u) + 2 ,d 2 f(a)(u, u) + ollull 2 )
donc, comme df(a) est la forme nulle, le signe de
1
f(a + u) - f(a) = 2 d 2 f(a)(u,u) + o(llull 2 ), va être lié à celui de la
forme quadratique d 2 f (a).
LEMME 16.63. - Si d 2 f(a) n'est pas positive, il ny a pas de minimum
local.
En effet, dans ce cas il existe v tel que d 2 f (a) ( v, v) < 0, en particulier
v;f 0.
Soit alors ê > 0, 3œ > 0 tel que llull ~a entraîne
d'où
1
f(a + u) ~ f(a) + 2 d 2 f(a)(u, u) + ellull 2 .
On applique ceci avec u = Àv, À réel tel quel.XI llvll ~a, on a
f(a + >.v) ~ f(a) + >. 2 G d 2 f(a)(v, v) + ellvl1 2 )
vu l'aspect bilinéaire de d2 f(a).
Mais alors si ellvll 2 < -~ d 2 f(a)(v, v), soit si e<- 2 ll~ll 2 d 2 f(a)(v, v),
(ce qui a un sens puisque d 2 f(a)(v, v) < 0), on aura pour À tel que
0 < l.XI < ll:ll' l'inégalité stricte f(a + >.v) < f(a), et comme ces a+ >.v