Calcul différentiel
343
ce qui donne
conclusion cherchée.
•
5. Extrema des fonctions à valeurs réelles
DÉFINITION 16.60. - Soit n un ouvert de E, espace vectoriel normé, et f
une application de 0 dans R On dit que f présente en a E 0 un maximum
local, (resp. minimum local), si et seulement si il existe un voisinage V de
a tel que Vx E V n 0, f(x) ~ f(a), (resp. f(x) ~ f(a)).
Ce maximum, (ou minimum) local est dit strict si pour x =fa a les
inégalités sont strictes.
On parle d'extremum quand il s'agit d'un maximum ou d'un minimum.
Un extremum peut être absolu si les inégalités sont valables pour tout x
de n. Enfin les pluriels de ces noms latins sont en a : maxima, extrema,
minima.
THÉORÈME 16.61. - Soit 0 ouvert de E, (e.v.n.) et f : 0 1-+ IR une fonction
présentant en a de 0 un extremum. Si f est différentwble en a, on a
df(a) =O.
En effet, soit u dans E, la fonction () : t ---+ a+ tu de R dans E est
continue et 0(0) E n ouvert donc il existe I, intervalle ouvert contenant
0 tel que O(J) C 0, puis ()dérivable en 0 et f différentiable en a : il en
résulte que cp = f o ()est dérivable en 0 et cp'(O) = df(a)(u) (exemple
fondamental 16.25). Comme la fonction cp de variable réelle, à valeurs
réelles, dérivable en 0, présente en 0 un extremum, on a cp' (0) = 0 d'où
df(a)(u) = 0 et ce pour tout u.
•
DÉFINITION 16.62. - On appelle point critique de f : 0 1-+ IR, différentwble, les points a de l'ouvert n où df(a) =o.
Si on prend alors le cas de f, définie sur une partie A de E, (e.v.n.), les
points a de A en lesquels f peut présenter un extremum sont à chercher :
0
1) parmi les point de A ' A,
0
2) parmi les points de A où f n'est pas différentiable,
3) et enfin, parmi les points critiques, mais il ne faut pas négliger les
points des deux premières sortes.
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ce qui donne
conclusion cherchée.
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5. Extrema des fonctions à valeurs réelles
DÉFINITION 16.60. - Soit n un ouvert de E, espace vectoriel normé, et f
une application de 0 dans R On dit que f présente en a E 0 un maximum
local, (resp. minimum local), si et seulement si il existe un voisinage V de
a tel que Vx E V n 0, f(x) ~ f(a), (resp. f(x) ~ f(a)).
Ce maximum, (ou minimum) local est dit strict si pour x =fa a les
inégalités sont strictes.
On parle d'extremum quand il s'agit d'un maximum ou d'un minimum.
Un extremum peut être absolu si les inégalités sont valables pour tout x
de n. Enfin les pluriels de ces noms latins sont en a : maxima, extrema,
minima.
THÉORÈME 16.61. - Soit 0 ouvert de E, (e.v.n.) et f : 0 1-+ IR une fonction
présentant en a de 0 un extremum. Si f est différentwble en a, on a
df(a) =O.
En effet, soit u dans E, la fonction () : t ---+ a+ tu de R dans E est
continue et 0(0) E n ouvert donc il existe I, intervalle ouvert contenant
0 tel que O(J) C 0, puis ()dérivable en 0 et f différentiable en a : il en
résulte que cp = f o ()est dérivable en 0 et cp'(O) = df(a)(u) (exemple
fondamental 16.25). Comme la fonction cp de variable réelle, à valeurs
réelles, dérivable en 0, présente en 0 un extremum, on a cp' (0) = 0 d'où
df(a)(u) = 0 et ce pour tout u.
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DÉFINITION 16.62. - On appelle point critique de f : 0 1-+ IR, différentwble, les points a de l'ouvert n où df(a) =o.
Si on prend alors le cas de f, définie sur une partie A de E, (e.v.n.), les
points a de A en lesquels f peut présenter un extremum sont à chercher :
0
1) parmi les point de A ' A,
0
2) parmi les points de A où f n'est pas différentiable,
3) et enfin, parmi les points critiques, mais il ne faut pas négliger les
points des deux premières sortes.