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Analyse fonctionnelle
16.59. lknons-en à la justification de la formule de Taylor-Young.
Par ici les pressés : vous démarrez la justification de Taylor-Young,
(Théorème 16.54), ici, en admettant que (continue) ou bien, si vous avez des scrupules, en vous disant qu'on
suppose l'existence de en a de rapide du côté symétrique de df (a), mais avec des hypothèses trop fortes.
On suppose ici que f : n ~ F admet en a, une différentielle d'ordre
p, donc pour k = 1, ... ,p, dk f(a) existe et c'est une application k-linéaire
symétrique continue.
On définit g sur un voisinage de 0 dans E par
g(u) = f(a+u)- f(a)-df(a)(u)- d2 f(a~l(u, u) - ... - .
p.
et on va vérifier que g(O), dg(O), ... , respectifs les contenant), pour appliquer le lemme 16.53. Il est évident
que g(O) =O.
Soit (}k l'application k-linéaire continue symétrique :
u ~ Ok(u) = dk f(a)(u, u, ... , u).
Vu l'exemple 16.21, et l'aspect, et l'aspect symétrique de dk f(a), on a
d(}k(u)h1 = kdk f(a)(hi, u, ... , u), et u intervient k-1 fois linéairement
et symétriquement. Mais alors d(}k(O)(h1) = 0 si k ~ 2, (u = 0 figure ... )
et d 2 0k(u)(hi, h2) = k(k - l)dk f(a)(hi, h2, u, ... , u), ce qui donnera, si
k ~ 3, la nullité de d20k(O) et la possibilité de calculer la différentielle
d'ordre 3.
On obtient ainsi :
p
1
dg(u)(h1) = df(a+u)(h1)-df(a)(hi)- L (k _ l)! dk f(a)(hi, u, ... , u)
k=2
d'où dg(O) = 0, (pour tout hi, le second membre est nul), puis
d 2 g(u)(hi, h2) = d 2 f(a + u)(h1, h2) - d 2 f(a)(hi, h2)
p
donc d 2 g(O) = 0, et ainsi de suite, jusqu'à
- L f(a)(hi, h2, u, ... , u)
k=3