Calcul différentiel
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COROLLAIRE 16.57. - Si 0 est un ouvert de E = !Rn et si en a de 0, pour
i =1- j on a â 82 f (a) =1- â 82 : (a), f n'est pas différentiable à l'ordre 2
Xi Xj
Xj Xi
en a.
THÉORÈME 16.58. - Soient E et F vectoriels normés, 0 un ouvert de E et
f : n i---+ F telle que d? f(a) existe, alors l'application p linéaire continue
d? f(a) est symétrique.
C'est-à-dire que Va E 6p, groupe symétrique d'ordre p
d? f(a)(hu(l)• ... , hu(p)) = d? f(a)(h1, ... , hp)·
On procède par récurrence sur p. C'est vrai si p = 2.
Soit f telle que d? f (a) existe, alors la différentielle d'ordre p - 1 de f
existe sur un voisinage de a.
Soient h1, h2, ... , hp fixés dans E et g de n dans F définie par
g(x) = a;P-l f(x)(h2, ... , hp).
On trouve dg(a)(h1) en formant la différence
g(a + h1) - g(a) = (d?- 1 f(a + h1) - d?- 1 f(a))(h2, ... , hp):
Or d?- 1 f(a+h1)-d?- 1 f(a) = d? f(a)(h1) +o(ilh1 Il), cette égalité étant
écrite entre des applications p - 1 fois linéaires, et ce sont ces applications
que l'on calcule en h2, ... , hp, d'où dg(a)(h1) = d? f(a)(h1, h2, ... , hp),
et comme, (hypothèse de récurrence) g est invariante si on permute
h2, h3, ... , hp ensembles, il en est de même pour d? f (a).
Si maintenant on introduit g : n i---+ F définie par
g(x) = d?- 2 f(x)(h3, h4, ... , hp), et qu'on lui applique le résultat pour la
différentielle d'ordre 2, on aura dg(a)(h1, h2) = dg(a)(h2, h1), soit encore
La relation d? J(a)(hu(l), ... ,hu(p)) = dP f(a)(hi, ... , hp) est valable pour
la transposition de 1 et 2, 7i.,2 et pour toute permutation laissant 1
fixé : elle l'est alors pour la permutation circulaire 'Yi (1, 2, ... ,p) ~
(2, 3, ... ,p, 1) car on obtient ' Y par (1, 2, 3, ... ,p) donne (2, 1, 3, ... ,p)
puis dans les p - 1 derniers entiers, on les permute en laissant 2 fixé,
pour obtenir (2, 3, ... ,p - l,p, 1).
Mais (7i.,2,')') étant système générateur de 6p, (algèbre, Tome 1,
Théorème 4.51), le théorème 16.58 est justifié.
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COROLLAIRE 16.57. - Si 0 est un ouvert de E = !Rn et si en a de 0, pour
i =1- j on a â 82 f (a) =1- â 82 : (a), f n'est pas différentiable à l'ordre 2
Xi Xj
Xj Xi
en a.
THÉORÈME 16.58. - Soient E et F vectoriels normés, 0 un ouvert de E et
f : n i---+ F telle que d? f(a) existe, alors l'application p linéaire continue
d? f(a) est symétrique.
C'est-à-dire que Va E 6p, groupe symétrique d'ordre p
d? f(a)(hu(l)• ... , hu(p)) = d? f(a)(h1, ... , hp)·
On procède par récurrence sur p. C'est vrai si p = 2.
Soit f telle que d? f (a) existe, alors la différentielle d'ordre p - 1 de f
existe sur un voisinage de a.
Soient h1, h2, ... , hp fixés dans E et g de n dans F définie par
g(x) = a;P-l f(x)(h2, ... , hp).
On trouve dg(a)(h1) en formant la différence
g(a + h1) - g(a) = (d?- 1 f(a + h1) - d?- 1 f(a))(h2, ... , hp):
Or d?- 1 f(a+h1)-d?- 1 f(a) = d? f(a)(h1) +o(ilh1 Il), cette égalité étant
écrite entre des applications p - 1 fois linéaires, et ce sont ces applications
que l'on calcule en h2, ... , hp, d'où dg(a)(h1) = d? f(a)(h1, h2, ... , hp),
et comme, (hypothèse de récurrence) g est invariante si on permute
h2, h3, ... , hp ensembles, il en est de même pour d? f (a).
Si maintenant on introduit g : n i---+ F définie par
g(x) = d?- 2 f(x)(h3, h4, ... , hp), et qu'on lui applique le résultat pour la
différentielle d'ordre 2, on aura dg(a)(h1, h2) = dg(a)(h2, h1), soit encore
La relation d? J(a)(hu(l), ... ,hu(p)) = dP f(a)(hi, ... , hp) est valable pour
la transposition de 1 et 2, 7i.,2 et pour toute permutation laissant 1
fixé : elle l'est alors pour la permutation circulaire 'Yi (1, 2, ... ,p) ~
(2, 3, ... ,p, 1) car on obtient ' Y par (1, 2, 3, ... ,p) donne (2, 1, 3, ... ,p)
puis dans les p - 1 derniers entiers, on les permute en laissant 2 fixé,
pour obtenir (2, 3, ... ,p - l,p, 1).
Mais (7i.,2,')') étant système générateur de 6p, (algèbre, Tome 1,
Théorème 4.51), le théorème 16.58 est justifié.
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