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Analyse fonctionnelle
Mais alors, pour s fixé, avec llsll ~ i• si lltll = i• Wrr décrit la sphère
unité de E et la majoration précédente donne llldh(s)lll ~ 2e(llull + llsll),
(norme d'application linéaire continue).
On veut majorer llh(v) - h(O)ll en appliquant le théorème des accroissements finis, (Théorème 16.44) et, si on reprend la justification de
ce résultat on s'aperçoit qu'on utilise un majorant de llldh(s)lll Iorsque s
décrit le segment d'extrémités 0 et v, mais si on impose aussi la condition llvll ~ i• on aura alors llsll ~ llvll. et sur ce segment, llldh(s)lll ~
2e(llull + llvll) d'où llg(u,v)ll = llh(v) - h(O)ll ~ 2ellvll(llull + llvll).
On considère alors
g(v, u) = f(a + v + u) - f(a + v) - f(a + u) + f(a) - d 2 f(a)(v, u),
c'est encore= h1(u) - h1(0) en posant
h1(t) = f(a + v + t) - f(a + t) - d 2 f(a)(v, t)
et le même calcul va conduire d'abord à
a
llldh1(t)lll ~ 2e(llvll + lltll), (pour llvll et lltll ~ 2),
et donc si t décrit le segment d'extrémités 0 etv, à llldh1(t)lll ~ 2e(llull+
llvll) pour llvll ~ i et finalement à llg(v, u)ll ~ 2ellull(llull + llvll).
Or g(u, v) - g(v, u) = d 2 f(a)(v, u) - d 2 f(a)(u, v), d'où finalement:
Ve> 0, 3a > 0 tel que llull ~ i et llvll ~ i impliquent
lld 2 f(a)(v, u) - d 2 f(a)(u, v)ll ~ 2e(llull + llvll) 2
par inégalité triangulaire.
Mais, pour (uo, vo) E E 2 avec uo et vo non nuls, il existe À réel =f:. 0,
a
tel que >.uo et >.vo soient de normes inférieures à 2 d'où, (bilinéarité de
d 2 f(a)) :
. >. 2 11d 2 f(a)(vo,uo) - d 2 f(a)(uo,vo)ll ~ 2e.>. 2 (11uoll + llvoll) 2 ,
on simplifie par À t 0, et on fait tendre e vers 0 il en résulte que
d 2 f(a)(vo,uo) = d f(a)(uo,vo) lorsque uo et vo sont non nuls, cette
égalité étant évidente si l'un des deux est nul.
On a donc justifié le fait que d 2 f(a) est symétrique dès qu'elle
existe.
•
Analyse fonctionnelle
Mais alors, pour s fixé, avec llsll ~ i• si lltll = i• Wrr décrit la sphère
unité de E et la majoration précédente donne llldh(s)lll ~ 2e(llull + llsll),
(norme d'application linéaire continue).
On veut majorer llh(v) - h(O)ll en appliquant le théorème des accroissements finis, (Théorème 16.44) et, si on reprend la justification de
ce résultat on s'aperçoit qu'on utilise un majorant de llldh(s)lll Iorsque s
décrit le segment d'extrémités 0 et v, mais si on impose aussi la condition llvll ~ i• on aura alors llsll ~ llvll. et sur ce segment, llldh(s)lll ~
2e(llull + llvll) d'où llg(u,v)ll = llh(v) - h(O)ll ~ 2ellvll(llull + llvll).
On considère alors
g(v, u) = f(a + v + u) - f(a + v) - f(a + u) + f(a) - d 2 f(a)(v, u),
c'est encore= h1(u) - h1(0) en posant
h1(t) = f(a + v + t) - f(a + t) - d 2 f(a)(v, t)
et le même calcul va conduire d'abord à
a
llldh1(t)lll ~ 2e(llvll + lltll), (pour llvll et lltll ~ 2),
et donc si t décrit le segment d'extrémités 0 etv, à llldh1(t)lll ~ 2e(llull+
llvll) pour llvll ~ i et finalement à llg(v, u)ll ~ 2ellull(llull + llvll).
Or g(u, v) - g(v, u) = d 2 f(a)(v, u) - d 2 f(a)(u, v), d'où finalement:
Ve> 0, 3a > 0 tel que llull ~ i et llvll ~ i impliquent
lld 2 f(a)(v, u) - d 2 f(a)(u, v)ll ~ 2e(llull + llvll) 2
par inégalité triangulaire.
Mais, pour (uo, vo) E E 2 avec uo et vo non nuls, il existe À réel =f:. 0,
a
tel que >.uo et >.vo soient de normes inférieures à 2 d'où, (bilinéarité de
d 2 f(a)) :
. >. 2 11d 2 f(a)(vo,uo) - d 2 f(a)(uo,vo)ll ~ 2e.>. 2 (11uoll + llvoll) 2 ,
on simplifie par À t 0, et on fait tendre e vers 0 il en résulte que
d 2 f(a)(vo,uo) = d f(a)(uo,vo) lorsque uo et vo sont non nuls, cette
égalité étant évidente si l'un des deux est nul.
On a donc justifié le fait que d 2 f(a) est symétrique dès qu'elle
existe.
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